Question

A equação diferencial y''+5y'+4y=0 tem solução geral y(t)=c1e^-t +c2e^-4t,. Determine c1 e c2 de modo que a função y(t) dada satisfaça as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 .


a) C1 = 4/3 e C2 = -1/3


b) C1 = -1/3 e C2 = 4/3


c) C1 = 0 e C2 = 2/3


d) C1 = -1 e C2 = 4


e) C1 = -1/3 e C2 = 2/3

Answer 1

Olá,

Devemos substituir as condições iniciais na equação, e assim determinar o valor de C1 e C2, vejamos:

y(0)=2

\begin{lgathered}C1.e^{-2.0}+C2.e^{-3.0}=2 \\ \\ C1+C2=2\end{lgathered}

C1.e

−2.0

+C2.e

−3.0

=2

C1+C2=2

Já temos a primeira equação, agora vamos substituir a segunda condição inicial:

Derivando y(t) teremos:

-2C1e^{-2t}-3C2e^{-3t}−2C1e

−2t

−3C2e

−3t

Substituindo a condição inicial teremos:

\begin{lgathered}-2C1e^{-2.0}-3C2e^{-3.0}=3 \\ \\ -2C1-3C2=3\end{lgathered}

−2C1e

−2.0

−3C2e

−3.0

=3

−2C1−3C2=3

Basta agora montar o sistema e resolve-lo, vejamos:

\begin{lgathered}C1+C2=2\\ \\ -2C1-3C2=3\\ \\ -2(2-C2)-3C2=3\\ \\ -4+2C2-3C2=3\\ \\ C2=-7\\ \\ C1-7=2\\ \\ C1=9\end{lgathered}

C1+C2=2

−2C1−3C2=3

−2(2−C2)−3C2=3

−4+2C2−3C2=3

C2=−7

C1−7=2

C1=9