Question

Dados 10 pontos em um plano: P1, P2, …, P10, somente os 5 pontos P1, P2, P3, P4 e P5 pertencem a uma mesma reta, não havendo quaisquer outros 3 colineares. Quantos triângulos distintos com vértices nesses pontos podem ser formados?
a) 110
b)120
c)660
d)720​

Answer 1

Podem ser formados 110 triângulos distintos.

Observe que existem 3 possibilidades:

• Dois vértices do triângulo são formados pelos pontos P1, P2, P3, P4, P5 e um vértice é um dos pontos P6, P7, P8, P9 ou P10;
• Um vértice do triângulo é um dos pontos P1, P2, P3, P4 ou P5 e dois vértices são os pontos P6, P7, P8, P9 ou P10;

• Os três vértices são formados pelos pontos P6, P7, P8, P9 ou P10.

Para isso, utilizaremos a fórmula da Combinação: $\boxed{C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$.

Para a primeira possibilidade existem: $C(5,2).5=\frac{5!}{2!3!}.5 = 10.5 = 50$ maneiras;

Para a segunda possibilidade existem: $C(5,2).5=\frac{5!}{2!3!}.5 = 10.5 = 50$ maneiras;

Para a terceira possibilidade existem: $C(5,3)=\frac{5!}{2!3!}=10$ maneiras.

Portanto, 50 + 50 + 10 = 110 triângulos distintos.