(OBM) As 4 colorações a seguir são considerados iguais por coincidirem por rotação.
De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2x2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Respostas
Explicação:
Devemos color de forma que não haja coincidentes por rotação.
Para isso, devemos diferenciar o número de quadradinhos pintados, já que, ao mudarmos apenas a posição da pintura, ela coincidirá (por exemplo, se eu pintar na vertical, ela coincidirá com a pintada na horizontal, após rotacionar), a não ser que seja na diagonal, que é um caso a parte, explicado na 4° opção.
Assim, temos que, podemos ter:
1° - Um tabuleiro com todas as casas pintadas, já que, ele não quer que não coincida entre o próprio tabuleiro, e sim, entre outros tabuleiros.
2° - Com 3 pintadas, pois precisamos diferenciar no número de pintadas, como já dito.
3° - Com 2 Pintadas, pelo mesmo motivo.
4° - O caso 4° é especial. Este caso quebra a regra que eu expliquei, já que, não vamos mudar o número, e sim a posição. Se pintarmos na diagonal, não irá se igualar a nenhuma outra.
5° - Com 1 pintada, pelo mesmo motivo da 2° e 3°.
6° - Mesmo caso da 1°. Podemos rotacionar um tabuleiro e obter o mesmo resultado. O que não podemos é rotacionar outro tabuleiro pintado de outra forma e resultar na mesma imagem.
Logo, temos 6 opções, ficando assim item C.