Question

Considere a integral √³ (2z-x+3y) √^5 (z-x) dxdydz, onde V é dada por 2≤2z-x+3Y≤8, 1≤z-x≤5, 3≤z≤4. Efetuando a mudança de coordenadas u=2z-x+3y, v=z-x, w=z, a escrita da integral nas novas variáreis (u,v,w) e com os limites de integração fica:

Answer 1

Resposta: Resposta na imagem

Explicação passo a passo: Mudando as variáveis de (x,y,z) para (u,v,w)

x=-u+3v+2w derivando, -u=-1, 3v=3, 2w=2

y=-u+w derivando, -u=-1, v=0, w=1

z=w derivando, u=0, v=0, w=1

Colocando no jacobiano.

-1 3 2

-1 0 1

0 0 1

Calculando o determinante, (-1x0x1)+(3x1x0)+(2x0x-1)-(2x0x0)-(3x-1x1)-(-1x0x1)

(0)+(0)+(0)-(0)-(-3)-(0)=3 isso é a mesma coisa que, jogando para fora da integral como 1/3, os limites de integração continuam os mesmos, só que em relação ao du, dv, dw.

Answer 2

A integral tripla aplicada na região V é dada por:

$\dfrac{1}{3}\cdot \int_3^4 \int_1^5\int_2^8 \sqrt[3]{u}\cdot \sqrt[5]{v} \ du \ dv \ dw$

Integral Tripla

Para resolvermos essa questão vamos calcular as derivadas parciais em relação a cada uma das novas variáveis a fim de obter o determinante da matriz jacobiana e em seguida efetuar as mudanças de variáveis na integral original.

Aplicando as mudanças de variáveis propostas e calculando as suas respectivas derivadas parciais obtemos:

$u=2z-x+3y\Rightarrow x=-u+3y+2z\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{\partial x}{\partial u}=-1\\\dfrac{\partial x}{\partial v}=0\\\dfrac{\partial x}{\partial w}=0\end{cases}$

$v=z-x\Rightarrow y=\dfrac{u}{3}-\dfrac{v}{3}-\dfrac{z}{3}\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{\partial y}{\partial u}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{\partial y}{\partial v}=-\dfrac{1}{3}\\\dfrac{\partial y}{\partial w}=0\end{cases}$

$w=z\Rightarrow z=w\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{\partial z}{\partial u}=0\\\dfrac{\partial z}{\partial v}=0\\\dfrac{\partial z}{\partial w}=1\end{cases}$

Calculamos agora o determinante da matriz Jacobiana. Pela propriedade do determinante de uma matriz triangular, este é dado pelo   produto entre os termos da diagonal principal.

$\begin{vmatrix}-1 & 0 & 0\\1/3 & -1/3 & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=(-1)\cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot 1=\dfrac{1}{3}$

Calculando os novos limites de integração:

$2\leq 2z-x+3y\leq 8\Rightarrow 2\leq u\leq 8\\\\1\leq z-x\leq5\Rightarrow 1\leq v\leq 5\\\\3\leq z\leq 4\Rightarrow 3\leq w\leq 4$

Substituindo todos os novos limites de integração e as novas variáveis na integral original teremos:

$\int\int\int_v \sqrt[3]{2z-x+3y}\cdot \sqrt[5]{z-x} \ dx \ dy \ dz = \dfrac{1}{3}\cdot \int_3^4 \int_1^5\int_2^8 \sqrt[3]{u}\cdot \sqrt[5]{v} \ du \ dv \ dw$

Para saber mais sobre Integrais Triplas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/52347384

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