Question

Determine o valor de X na equação:
a) (x+1) + (x+2) + ... + (x+n) + ... + + (x+100)= 7, 450
b) (3x+2) + (3x+5) + ... + (3x+3n-1) +...+ + (3x+59)=630

Answer 1

Na primeira equação temos uma Soma de termos de uma PA de r =1 e n=100

$S_{n}= \frac{(a1+an)*n}{2}$  = 7450
$S_{100}= \frac{((x+1)+(x+100))*100}{2} \\ \\ S_{100}= \frac{(2x+101)*100}{2} \\ \\ S_{100}= (2x+101)*50 \\ \\ S_{100}= (2x+101)*50 = 7450 \\ \\ 2x+101 = \frac{7450}{50} \\ \\ 2x+101 = 149 \\ 2x = 149-101 \\ 2x = 48 \\ x = \frac{48}{2} = 24$

Resposta: x = 24

De forma semelhante a primeira

$S_{n}= \frac{(a1+an)*n}{2}$
Onde a1 = 3x+2
         a2 = 3x+5
a2-a1 = r
3x+5 - (3x+2) = 3x-3x + 5 -2 = 3
logo r =3

o ultimo termo é o an =3x+59
      $a_{n} = a1+(n-1)r = 3x+59\\ a_{n} = 3x+2+(n-1)3=3x+59 \\ a_{n} = 3x+2+3n-3= 3x+59 \\ a_{n} = 3x-1-3n = 3x+59 \\ 3x-3x+3n = 59+1 \\ 3n = 60 \\ n= \frac{60}{3} \\ n=20$

Assim

$S_{20} = \frac{(a1+a20)20}{2} = 630 \\ \frac{((3x+2)+(3x+59)*20)}{2}=630 \\ \\ (6x+61)*10 = 630 \\ 60x+610 = 630 \\ 60x = 630-610 \\ 60x = 20 \\ x = \frac{20}{60} \\ \\ x= \frac{1}{3}$

Resposta:
$x= \frac{1}{3}$