Question

Complete o quadrado mágico

( -2 ) ( 3 ) (- 4 )

( - ) ( - ) ( 1 )

( - ) ( - ) ( - )


A soma dos números de qualquer linha, ou coluna ou diagonal é sempre a mesma.

( os tracinhos são pra completar) me ajudem

Answer 1

Consideraremos o quadrado mágico da questão:

$\left[\begin{array}{ccc}-2&3&4\\a&b&1\\c&d&e\end{array}\right]$

Onde a, b, c, d, e são Inteiros.

Se um quadrado mágico tem a soma dos elementos de suas Colunas, linhas e diagonais iguais a Q, então:

$L_1=-2+3+(-4)=Q\\L_2=a+b+1=Q\\L_3=c+d+e=Q\\C_1 = -2+a+c=Q\\C_2=3+b+d=Q\\C_3=-4+1+e=Q\\D_1=-2+b+e=Q\\D_2=-4+b+c=Q$

A partir de L1 sabemos o valor de Q, e daí expandimos para todas as linhas e colunas:

$L_1 \rightarrow Q = -2+3-4 = -3$

Portanto,

$L_2=a+b+1=-3\\L_3=c+d+e=-3\\C_1 = -2+a+c=-3\\C_2=3+b+d=-3\\C_3=-4+1+e=-3\\D_1=-2+b+e=-3\\D_2=-4+b+c=-3$

OBS: linhas ou colunas já conhecidas vão sendo apagadas a fim de obtermos somente os valor de a, b, c, d e e.

Daí procuramos linhas ou colunas cuja expressão tenha somente uma variável, como ocorre com C3:

$C_3 \rightarrow -4+1+e=-3$

$e = -3+4-1$

$e = 0$

Assim,

$L_2=a+b+1=-3\\L_3=c+d=-3\\C_1 = -2+a+c=-3\\C_2=3+b+d=-3\\D_1=-2+b=-3\\D_2=-4+b+c=-3$

Novamente, procuramos equações com somente 1 variável. Desta vez a D1 se encaixa:

$D_1 \rightarrow -2+b+0 = -3$

$b=-1$

Então,

$L_2=a-1+1=-3\\L_3=c+d=-3\\C_1 = -2+a+c=-3\\C_2=3-1+d=-3\\D_2=-4-1+c=-3$

Agora fazemos novamente as expressões com 1 só incógnita. Desta vez, 3 expressões se apresentam: D2, C2 e L2:

$L_2 \rightarrow a = -3$

$C_2 \rightarrow 3-1+d=-3$

$d = -3-3+1 = -5$

$D_2 \rightarrow -4-1+c=-3$

$c = -3+5 = 2$

Encontramos todas as incógnitas, nos restando com o seguinte quadrado mágico:

$\left[\begin{array}{ccc}-2&3&-4\\-3&-1&1\\2&-5&0\end{array}\right]$