Question

Encontre o limite de (x-2)/(x^2+2+1) quando x->infinito

Answer 1

Não sei se ja estudou a parte de derivação para utilizar l'Hopital, portanto vou fazer de duas formas.

1ª forma (divisão polinomial):

$\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{x-2}{x^2+2x+1}~=~\underset{x\to \infty}{lim}~\left(\frac{x^2+2x+1}{x-2}\right)^{-1}\\\\\\Fazendo~a~divisao~polinomial\\\\\\\underset{x\to \infty}{lim}~\left(x-4+\frac{9}{x-2}\right)^{-1}~=~\left(\infty-4+\frac{9}{\infty-2}\right)^{-1}~=~\left(\infty+\frac{9}{\infty}\right)^{-1}~=\\\\\\=~\left(\infty+0\right)^{-1}~=~\frac{1}{\infty}~=~\boxed{0}$

2ª forma (l'Hopital):

$\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{x-2}{x^2+2x+1}~=~\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{(x-2)'}{(x^2+2x+1)'}~=~\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{1}{2x+2}~=~\frac{1}{2~.~\infty~+~2}~=~\frac{1}{\infty}~=~\boxed{0}$