4. (UFG - GO) A "árvore pitagórica fundamental" é uma forma
estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica
pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma
E
couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A
árvore pitagorica ao lado foi construída a partir de um triângulo
retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de quadrados
construidos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados
e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo
que os ângulos C. Fel são congruentes, seguindo um processo
iterativo que pode se estender infinitamente.
Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagorica.
Respostas
A área do triângulo GHI, integrante da árvore pitagórica é 2,46 u.a.
Primeiro devemos fazer o cálculo da hipotenusa HI:
DEF ≅ ABC
DF/AC = EF/BC
DF/4 = 4/5
DF = 16/5
HI = DF = 16/5
Para o cálculo da área do triângulo, devemos consider Sghi como a área do triângulo GHI:
GHI ≅ ABC
Sghi/Sabc = (HI/BC)²
Sghi = (HI/BC)² x Sabc
Sghi = (HI/BC)² x (AB x AC)/2
Sghi = ((16/5)/5)² x (3 x 4)/2
Sghi = (16/25)² x 6
Sghi = 1.536/625
Sghi = 2,46 u.a.
Bons estudos!
Resposta:
A resposta é 2,4576 u.a.², sendo u.a. = unidade de área.
Explicação passo a passo:
Está extremamente bem explicadinho, com uma lógica diferente da usada na resposta anterior:
Os triângulos diminuem de uma maneira que mantém a proporção com o primeiro triângulo. O lado AC se mostra igual em comprimento com o lado FE, pois ambos são lados do mesmo quadrado, sendo FE também a hipotenusa desse novo triângulo. Originalmente temos a hipotenusa com o comprimento de 5, e ela diminui para 4, tendo uma diminuição de 20% (4/5 = 0,8; o 0,8 é o 80 porcento que resta depois da diminuição), sendo assim, repetimos esse processo de diminuição para os outros lados, encontrando os valores do triângulo DFE, sendo eles FE = 4; DF = 3,2 e DE = 2,4. Então, logicamente, repetimos o processo, e conseguimos os valores dos lados do triângulo GHI, sendo então ele: HI = 3,2; IG = 2,56 e GH = 1,92; a partir daí é fácil calcular a área, IG * GH / 2 = 2,56 * 1,92 / 2 = 2,4576 u.a.².