Question

Imagine uma esfera de raio R, com duas varetas fincadas nela nos pontos A e B, perpendicularmente à sua superfície e sobre uma mesma circunferência máxima (meridiano). Uma lanterna, que emite um feixe de raios de luz paralelos entre si, ilumina a esfera.
Na esfera, não se observa sombra da vareta fincada em A, mas se observa sombra da vareta fincada em B. Não é difícil medir o ângulo α indicado. Suponha que alguém mediu esse ângulo e encontrou α = 20°. Sabendo que o arco AB mede 10 cm e que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2πR, calcule o raio R da esfera. (Use π = 3.)

Nota: • Foi de um modo análogo que o grego Eratóstenes (século I a.C.), pela primeira vez, determinou o raio da Terra.

Answer 1

''Erastótenes usou a geometria euclidiana para concluir que o ângulo formado pela vara e por uma linha imaginária traçada da extremidade da sombra até o topo da vara era igual ao ângulo de vértice no centro da Terra e formado pelas linhas imaginárias traçadas das duas cidades. A inclinação dos raios solares era de 7,2° (1/50 x 360° ). Entretanto, na cidade de Siena, que dista de Alexandria 800 km, e à mesma hora, tinha verificado que os raios chegavam com uma direcção perpendicular, pois havia observado que se podia ver o fundo de um poço com grande profundidade. Então Erastótenes pensou que a distância entre as duas cidades seria igual a 1/50 do comprimento da circunferência da terra. Logo, o comprimento da circunferência da Terra seria 50x800 km = 40000km.
Então, o raio da terra seria: 40000/(2p) km @ 6366,19 km. As medições actuais dão-nos o valor de 6378km. ''

Usando o mesmo processo 

20º = 1/18 de 360

e sabemos também que  o  comprimento do arco é 10 cm 

logo o comprimento da esfera será 10x18= 180 cm

Como C=2πr e π=3
180=2.3.r
r=180/6
r=30 cm

Answer 2

O raio R da esfera é equivalente a 30 centímetros.

Para responder de forma satisfatória, siga o raciocínio abaixo:

• considere que o ângulo central e o comprimento do arco que se observa são proporcionais.;
• R é igual a 2πR;
• π = 3;
• α = 20°.

Para facilitar os cálculos, utilizaremos extremos pelos meios:

α/AB = 360°/2πR

20°/10cm = 360°/2.3.R

R = 30 centímetros.

Em geometria euclidiana o ângulo formado entre vareta e   uma linha imaginária é igual ao ângulo de vértice no centro da Terra e formado pelas linhas imaginárias traçadas.

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