Question

Encontre todas as soluções no conjunto dos números reais positivos, do sistema de equações:

x(x+y+z)=26
y(x+y+z)=27
z(x+y+z)=28

Answer 1

$\begin{cases}x(x+y+z)=26\\y(x+y+z)=27\\z(x+y+z)=28\end{cases}$

Somando as equações:

$x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z)=26+27+28$

Colocando (x + y + z) em evidência:

$(x+y+z)\cdot(x+y+z)=26+27+28\\\\(x+y+z)^{2}=81\\\\\sqrt{(x+y+z)^{2}}=\sqrt{81}\\\\x+y+z=\pm9$
______________________

Se (x + y + z) = 9:

$x\cdot(x+y+z)=26\\x\cdot9=26\\x=26/9\\\\y\cdot(x+y+z)=27\\y\cdot9=27\\y=27/9\\y=3\\\\z\cdot(x+y+z)=28\\z\cdot9=28\\z=28/9$


Se (x + y + z) = - 9:

$x\cdot(x+y+z)=26\\x\cdot(-9)=26\\x=-26/9\\\\y\cdot(x+y+z)=27\\y\cdot(-9)=27\\y=27/(-9)\\y=-3\\\\z\cdot(x+y+z)=28\\z\cdot(-9)=28\\z=-28/9$

Soluções do sistema:

$\left(\dfrac{26}{9},~3,~\dfrac{28}{9}\right),~\left(-\dfrac{26}{9},-3,-\dfrac{28}{9}\right)$