Question

As representações gráficas de duas funções do 1° grau, f e g, são dadas a seguir;

D) obtenha a área do triângulo PQR.

Answer 1

Resposta:

289/84 unidades de área.

Explicação passo-a-passo:

Para determinar a área do triângulo formando pelos três pontos, precisamos determinar as equações das retas f e g. Ambas as retas possuem a seguinte fórmula geral:

$y=ax+b$

Para determinar a equação de cada reta, precisamos de pelo menos dois pontos pertencentes a elas. Nesse caso, podemos retirar esses valores do gráfico. Para cada caso, temos as seguintes equações:

$f(x):(3,1) \ e \ (1,4)\\ \\ 1=3a+b\\ 4=a+b\\ \\ a=-\frac{3}{2};b=\frac{11}{2}\\ \\ \boxed{f(x)=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}}\\ \\ \\ g(x):(4,-5) \ e \ (6,-1)\\ \\ -5=4a+b\\ -1=6a+b\\ \\ a=2;b=-13\\ \\ \boxed{g(x)=2x-13}$

Com a equação da reta f, podemos determinar o ponto R, enquanto que com a equação da reta g, podemos calcular onde está o ponto Q. Em ambos os casos, devemos substituir y=0, uma vez que os pontos estão sobre o eixo das abscissas.

$Ponto \ R:\\\\  0=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}\\ \\ x=\frac{11}{3}\\ \\ \\ Ponto \ Q:\\ \\ 0=2x-13\\ \\ x=\frac{13}{2}$

Agora, basta determinar o ponto P, ponto no qual as duas retas se interceptam. Por isso, basta igualar uma reta com a outra e determinar seu respectivo par ordenado.

$-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}=2x-13\\ \\ \frac{37}{2}=\frac{7}{2}x\\ \\ x=\frac{37}{7}\\ \\ \\ y=2\times \frac{37}{7}-13=-\frac{17}{7}$

Por fim, calculamos a área do  triângulo, sendo a base a diferença entre os pontos R e Q e a altura o ponto P. Portanto:

$A=\frac{(\frac{13}{2}-\frac{11}{3})\times \frac{17}{7}}{2}=\frac{289}{84} \ u.a.$