Question

15) Determine k de modo que o sistema tenha infinitas soluções, e detenha sua solução geral.

Answer 1

O valor de k tem que ser igual a 7 e a solução é  {(-y,y,y), y ∈ IR}.

Acredito que no lugar do "a" seja "k", no sistema.

Tendo o sistema

{x + 2y - z = 0

{2x - y + 3z = 0

{x + ky - 6z = 0

vamos escrevê-lo na forma de matriz aumentada e realizar as operações entre as linhas: $\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1|0\\2&-1&3|0\\1&k&-6|0\end{array}\right]$.

Fazendo L2 ← L2 - 2L1 e L3 ← L3 - L1 obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1|0\\0&-5&5|0\\0&k-2&-5|0\end{array}\right]$

Fazendo L3 ← L3 + L2, obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1|0\\0&-5&5|0\\0&k-7&0|0\end{array}\right]$.

Para que o sistema possua infinitas soluções, temos que zerar a terceira linha. Para isso, devemos ter:

k - 7 = 0

k = 7.

Com a terceira linha zerada, obtemos um novo sistema:

{x + 2y - z = 0

{-5y + 5z = 0

Da segunda equação podemos concluir que y = z. Substituindo na primeira equação, temos que:

x + 2y - y = 0

x + y = 0

x = -y.

Portanto, a solução do sistema é {(-y,y,y), y ∈ IR}.