Question

O estudo das equações diferenciais é um grande campo de estudos da matemática e das ciências aplicadas. Essas equações estão associadas a situações em que se deseja prever o comportamento de algum sistema físico, tendo conhecimento sobre como esse sistema varia. Por exemplo, sabendo como a trajetória de um objeto varia com o tempo, gostaríamos de saber em qual posição este objeto se encontra em um determinado instante de tempo. Considere a equação abaixo:

Estão corretas:

A- Apenas I, II e III.
B- Apenas II, III e IV.
C- Apenas I e IV.
D- Apenas II e IV.
E- I, II, III e IV.

Me ajudem por favor!

Answer 1

Utilizando o método do fator integrante, devemos escrever a EDO na seguinte forma:

dy/dt + p(t)y = q(t)

Como a EDO já está nesse formato, temos que p(x) = 2t e q(x) = t. Utilizando a fórmula abaixo, podemos encontrar o fator integrante:

$\mu = e^{\int {p(t)} \, dt }$

Então:

$\mu = e^{\int {2t} \, dt }\\\\\mu = e^{t^2}$

A solução da EDO será calculada por:

μ.y = ∫μ.q(t)dt

e^(t²).y(t) = ∫t.e^t² dt

e^(t²).y(t) = e^t²/2 + C

y(t) = 1/2 + C.e^-t²

Se y(0) = 0, temos que C vale:

0 = 1/2 + C.e^0

C = -1/2

y(t) = 1/2 - 1/2e^-t²

y(t) = (1/2)(1 - e^-t²)

Para t = 1, temos:

y'(1) + 2y = 1

y'(1) = 1 - 1 - e^-t²

y'(1) = 1 - 1 + e^-1²

y'(1) = 1/e

Das afirmações, temos:

I - CORRETA: neste caso, K = 1.

II - CORRETA

III - CORRETA

IV - INCORRETA

Resposta: A

Answer 2

Resposta:

Alternativa correta: Letra D.

Explicação passo-a-passo:

Apenas II e IV.