Question

Calcule o determinante da matriz A = (an) 2x2 tal que ... (na foto)

Answer 1

A questão dá os seguintes critérios:

$\boxed{\boxed{a_{ij}= \left \{ {i+j, \ se\ i=j} \atop {{i-j, \ se\ i \neq j}} \right. }}$

Saiba que ' i ' se refere ao número de linhas, e " j " se refere ao número de colunas da matriz. Traduzindo os critérios que a questão dá, fica:
> eu somarei o número de linhas com o número de colunas, se e somente se os números de linhas forem iguais ao números de colunas.E daí que fica i + j. 

> eu subtrairei o número de colunas do número de linhas, se e somente se os números de linhas forem diferentes do número de colunas. E daí que fica i - j.  

Cálculo:
Antes de tudo, seria interessante se eu montasse a matriz genérica, que fica assim:

$A= \left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{array}\right]$

Note que cada elemento dá informações sobre si mesmo, a exemplo do a₁₁. Ele indica que está  na linha um e na coluna um. Já o a₁₂ indica que está na linha um e na coluna dois - o primeiro número indica a linha, e o segundo indica a coluna; mas quais números? Aqueles que ficam "meio que debaixo/ao lado" do " a ". Você  percebe? Na ordem, vem: linha e depois coluna. Em a₂₂, indica que o elemento está na linha dois e na coluna dois.

Nota: o número de linhas de uma matriz é contada na horizontal, e o número de colunas, na vertical. Observe a matriz genérica acima e veja que ela tem duas linhas e duas colunas. Mas por quê? Simples: a própria questão já deu as coordenadas para que ela fosse montada.   

Assim que a matriz genérica for formada, basta seguir os critérios que a questão dá. Vamos à montagem da matriz, :d:

$\boxed{a_{11}=1+1=2}$
Obs: por que somei linha com coluna? Ora, porque a questão disse: sempre que o número de linhas for igual ao número de colunas, eu somo linha com coluna.

$\boxed{a_{12}=1-2=-1}$
Obs: por que subtraí coluna de linha? Ora, porque a questão disse: sempre que o número de linhas for diferente do número de colunas, eu subtraio coluna de linha.

$\boxed{a_{21}=2-1=1} \\\boxed{ a_{22}=2+2=4}$

Com isso, já sei todos os quatro elementos da matriz e as suas respectivas posições. Basta encaixar:

$A= \left[\begin{array}{cc}2&-1\\1&4\\\end{array}\right]$

Agora, devemos fazer o último desejo da questão: achar o determinante da matriz de ordem 2.
Antes de qualquer cálculo, saiba: o determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

A matriz:

$A= \left[\begin{array}{cc}2&-1\\1&4\\\end{array}\right]$

Identificação dos elementos:
Diagonal principal: 2 e 4
Diagonal secundária: 1 e -1

Cálculo para achar o determinante:
2*4-1*(-1)=
8+1=
9

Com isso, sei que o determinante da matriz A é o 9