Question

Dou 5 estrelas...

Escreva a expressão que dá o valor de n em função de k, sendo:

2•2^3•2^5•2^7•...•2^2n-1 = k

Answer 1

Resposta:

$\sqrt{\dfrac{\text{log}~k}{\text{log}~2}$

Explicação passo-a-passo:

$2\times2^{3}\times2^{5}\dots\times2^{2n-1}=k$

$2^{1+3+5+\dots+2n-1}=k$

Note que $(1,3,5,\dots,2n-1)$ é uma PA com $a_1=1$, razão $2$ e $a_n=2n-1$

Trata-se da soma dos $n$ primeiros números ímpares.

$\text{S}_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

$\text{S}_n=\dfrac{(1+2n-1)\cdot n}{2}$

$\text{S}_n=n^2$

Assim, segue que:

$2^{n^2}=k$

$\text{log}~(2^{n^2})=\text{log}~k$

$n^2\cdot\text{log}~2=\text{log}~k$

$n=\sqrt{\dfrac{\text{log}~k}{\text{log}~2}$