Question

Você projetou um foguete para coletar amostras de ar poluído. Ele é disparado verticalmente com uma aceleração constante, para cima, de 20 m/s2. Depois de 25 s, o motor é descartado e o foguete continua subindo ( em queda livre) por um tempo. ( A resistência do ar é desprezível). Finalmente, o foguete para de subir e passa a cair de volta ao solo. Você deseja coletar uma amostra de ar que está a 20 km acima do solo.
(a) Você conseguiu atingir a altura desejada? Caso negativo, o que você deverá modificar para o foguete atingir os 20 km?
(b) Determine o tempo total de vôo do foguete.

(c) Encontre a rapidez do foguete justo antes de atingir o solo.

Answer 1

a)  O foguete não consegue atingir a altura desejada, pois alcançou 18750m.

b) O tempo total de voo é 131,23s

c) A rapidez do foguete justo antes de atingir o solo é 612,3m/s.

O movimento é divido em três etapas:

a)

Etapa 1 $\to$ Movimento acelerado para cima.

Utilizando a função horária da posição para MRUV, temos

$s_1=s_o+v_o_1t+\frac{a_1t^2}{2}$

$s_1=\frac{20.25^2}{2}=6250m$

Portanto, o foguete sobe 6250m antes descartar o motor.

A velocidade final do foguete nessa etapa é dada por:

$v_1=v_{o1}+a_1t$

$v_1=20.25=500m/s$

Portanto, imediatamente antes de liberar o motor, a velocidade alcançada é 500m/s.

Etapa 2 $\to$ Subindo por inércia contra aceleração da gravidade.

Como não temos informações do tempo após o motor ser liberado, utilizamos a equação de Torricelli.

$v_2^2=v_{o2}^2+2a_2s_2$

Sabemos que $v_{o2}=v_1$,  a velocidade final imediatamente antes de retornar ao solo é $v_2=0$,  e que  a aceleração da gravidade está contra o sentido do movimento, portanto $a_2=g=-10m/s^2$.

$0=500^2-2.(10)s_2$

$s_2=12500$

A altura alcançada após o descarte do motor foi 12500m.

Somando as alturas alcançadas nas etapas 1 e 2

$h=12500+6250=18750m$

Portanto, o foguete não consegue atingir a altura desejada.

Exitem duas modificações que podem fazer o foguete alcançar a altura desejada:

1. Aumentar o tempo de subida acelerado antes de descartar o motor.
2. Empregar uma aceleração maior.

b)

O tempo de subida após o descarte dos motores pode ser encontrado fazendo:

$v_2=v_{o2}+a_2t_2$

$0=500-10t_2$

$t_2=50s$

Etapa 3 $\to$ Queda livre sob a aceleração da gravidade

O tempo nesse trecho pode ser encontrado da seguinte forma:

$s_3=s_{o3}+v_o_3t_3+\frac{a_3t_3^2}{2}$

$18750=0 +\frac{10t_3^2}{2}$

$t_3=61,23s$.

Portanto o tempo total de voo é

$t=20+50+61,23=131,23s$.

Portanto o tempo total de voo é 131,23s

c)

A velocidade antes de encontrar o solo é

$v_3=v_{o3}+a_3t_3$

$v_3=0+10(61,23)$

$v_3=612,3m/s$

Portanto a velocidade do foguete justo antes de atingir o solo é 612,3m/s.