Question

Enuncie e prove a unicidade do elemento inverso de um grupo (G,*)

Answer 1

Se (G, *) é um grupo então o elemento x' inverso de x é único.

Demonstração: Suponha que (G, *) seja um grupo e que existam 2 elementos inversos x' e x" de x∈(G, *). Devemos mostrar que x"=x'.

Com efeito,

x”=x”*e=x"*(x*x') =(x"*x) *x'=e*x'=x'

Ou seja x"=x' c.q.d

Answer 2

Em todo grupo (G,*) o elemento inverso é único.

Demonstração:  Como (G,*) é um grupo vamos supor que existam dois elementos inversos k' e k'' de k ∈ (G,*). Vamos provar que k'=k''.

De fato, k'=k'*e=k'*(k*k'')=(k'*k)*k''=e*k''=k''

ou seja k'=k''  q.e.d