Question

Perguntaram a um professor sobre o numero de alunos que o acompanharam na visita a uma exposição.Como resposta ele fez um problema,explicando que todas as pessoas que foram,ao se encontrarem,se cumprimentaram apertando as mãos.E ele observou 66 cumprimentos.Quantas pessoas acompanharam o professor?

Answer 1

Com duas pessoas {a, b}:
{(a, b)}
1 cumprimento

Com três pessoas {a, b, c}:
{(a, b), (a, c), (b, c)}
3 cumprimentos

Com quatro pessoas {a, b, c, d}:
{(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}
6 cumprimentos

Isso é combinação de n tomados 2 a 2 onde n é o número de pessoas:

$C^2_n=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{2(n-2)!}=\dfrac{n\cdor(n-1)}{2}=\dfrac{n^2-n}{2}$

$C^2_n=\dfrac{n^2-n}{2}=66\\\\n^2-n=132\\\\n^2-n-132=0\\\\n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\n=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(1)(-132)}}{2(1)}\\\\n=\dfrac{1\pm\sqrt{1+528}}{2}\\\\n=\dfrac{1\pm\sqrt{529}}{2}\\\\n=\dfrac{1\pm23}{2}\\\\\boxed{n_1=\dfrac{1+23}{2}=\dfrac{24}{2}=12}\\\\n_2=\dfrac{1-23}{2}=\dfrac{-22}{2}=-11$

Desprezamos o resultado negativo e ficamos com 12 pessoas.