Respostas
Resposta:
x = 3raiz de(3) u.c. e y = 3 u.c.
Explicação passo-a-passo:
No triângulo retângulo menor, temos:
6² = x² + y² =>
x² + y² = 36 (i)
No triângulo maior temos:
14² = (y + 10)² + x² =>
14² = y² + 20y + 10² + x² =>
14² - 10² = (x² + y²) + 20y (ii)
Substituindo (i) em (ii) obteremos:
14² - 10² = 36 + 20y =>
(14 + 10)(14 - 10) = 36 + 20y =>
24.4 = 36 + 20y =>
96 = 36 + 20y =>
20y + 36 = 96 =>
20y = 96 - 36 =>
20y = 60 =>
y = 60/20 =>
y = 3 u.c.
De (i) temos que “x” vale:
x² = 36 - y² e y = 3 <=> y² = 9 =>
x² = 36 - 9 =>
x² = 27 =>
|x| = 3raiz de(3) e x > 0 =>
x = 3raiz de(3) u.c.
Também poderíamos (segunda resolução) ter aplicado o Teorema dos Cossenos relativo ao lado de comprimento 14 (oposto ao ângulo “k”) no triângulo de lados 6, 10 e 14. Com isso temos:
14² = 10² + 6² - 2.10.6cos(k) <=>
14² - 10² = 36 - 120cos(k) <=>
(14 + 10)(14 - 10) - 36 = - 120cos(k) <=>
24.4 - 36 = - 120cos(k) <=>
96 - 36 = - 120cos(k) <=>
60 = - 120cos(k) <=>
cos(k) = - 60/120 <=>
cos(k) = - 1/2 e 90° < k < 180° =>
k = 120° => O triângulo retângulo menor (de catetos “x” e “y”) possui dois ângulos agudos notáveis de 60° e 30° => O menor cateto “y” (oposto ao ângulo de 30°) mede metade da hipotenusa, ou seja, y = 6/2 = 3 u.c. Com isso, aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
6² = 3² + x² <=>
6² - 3² = x² <=>
x² = (6 + 3)(6 - 3) <=>
x² = 9.3 <=>
|x| = 3raiz de(3) e x > 0 =>
x = 3raiz de(3) u.c.
Também poderíamos (terceira resolução) ter aplicado um teorema dos triângulos obtusângulos, onde tal teorema afirma que: “Em um triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do comprimento do lado oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados, mais duas vezes o produto da medida de um desses lados pela projeção ortogonal do outro sobre ele (mais especificamente, sobre a reta que o contém)”. Com isso obteremos:
14² = 6² + 10² + 2.10.y <=>
14² - 10² = 6² + 20y <=>
96 = 36 + 20y <=>
20y = 60 <=>
y = 3 u.c.
Aplicando o Teorema de Pitágoras encontraremos:
6² = x² + 3² =>
x² = 27 =>
|x| = 3raiz de(3) e x > 0 =>
x = 3raiz de(3) u.c.
Abraços!