Question

Calcule a massa e o centro de massa das
partículas laminares que são formadas na etapa de
coagulação/floculação na ETA. Para isto, suponha que a partícula
ocupa a região D:
D = { ( x,y )| 0 ≤ x ≤ 2, -1 ≤ y ≤ 1 }
e tem densidade dada por: δ ( x,y ) = xy² g/cm²

Answer 1

Para calcular a massa, fazemos a integral da densidade de massa nos limites da região dada, ou seja:

m = ∫∫δ(x,y) dxdy

onde temos que 0 ≤ x ≤ 2 e -1 ≤ y ≤ 1. Assim, a massa da partícula é:

m = ∫∫xy² dxdy

m = ∫y².x²/2 dy

m = ∫y²(2²-0²)/2 dy

m = ∫2y² dy

m = 2y³/3

m = 2(1)³/3 - 2(-1)³/3

m = 4/3 unidades de massa

Já as coordenadas do centro de massa são dadas por:

x' = (1/m). ∫∫xδ(x,y) dxdy

y' = (1/m). ∫∫yδ(x,y) dxdy

Calculando, temos:

x' = 3/4 . ∫∫x²y² dxdy

x' = 3/4 (∫y².x³/3 dy)

x' = 3/4 (∫y²(2³-0³)/3 dy)

x' = 3/4 (∫8y²/3 dy)

x' = 3/4 . 8y³/9

x' = 3/4 . 8/9(1³ - (-1)³)

x' = 3/4 . 16/9

x' = 4/3

Da mesma forma para y:

y' = 3/4 . ∫∫xy³ dxdy

y' = 3/4 (∫y³.x²/2 dy

y' = 3/4 (∫y³(2²-0²)/2 dy)

y' = 3/4 (∫2y³ dy)

y' = 3/4 . 2y⁴/4

y' = 3/4 . 1/2(1⁴ - (-1)⁴)

y' = 0

O centro de massa fica no ponto (4/3, 0).