Question

Matemática
1)resolva a equação trigonométrica
(4.sen ao quadrado x-2)(2.cosx-1)=0 no intervalo 0 2pi

2) se a esta no intervalo [0,pi/2] e satisfaz
Sen ao quádruplo a-cos ao quadruplo a=1/4 então o valor da tange de a é x

Answer 1

Resposta:

1) π/4  OU π/3

2) ( B)  Tg = √5/√3

Explicação passo-a-passo:

1)  

(4 . senx^2 - 2) ( 2 . cosx - 1) = 0 no intervalo de [ 0 , 2π ]

4senx^2 - 2 = 0

4senx^2 = 2

sen^2 = 1/2

senx = √ 1 / √ 2 = 1/ √ 2 racionalizando temos

senx = √ 2 / 2 = 45°  

180° -  π

45 ° - X  

π/4

e  

2cosx - 1 = 0

2cosx = 1

cos x = 1/2 - 60

180° -  π

60°  - X

X = π/3

s = π/4  OU π/3

2)

sen = x e cos = y

x / y = tgx  

x^4 - y^4 = 1/4

x^2 + y^2 = 1

APLICAÇÃO DE PRODUTOS NOTÁVEIS

(x^2 + y^2) ( x^2 - y^2) = x^4 -x^2 . y^2 + y^2 . x^2 - y^4

(x^2 + y^2) ( x^2 - y^2) = x^4 - y^4

(    1    ) ( x^2 - y^2) = 1/4

OBS : A QUESTÃO EXIGE QUE VOCÊ SAIBA A EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

x^2 - y^2 = 1/4

x^2 + y^2 = 1   (equação fundamental da trigonometria)

subtraindo as equações temos :  

x^2 - x^2 - y^2 - y^2 = 1/4 - 1

- 2 y^2 = 1/4 - 4/4

-2 y^2 = -3/4 [multiplicando por (-1)]

2 y^2 = 3/4

y^2 = 3/4 / 2

y^2 = 3/8

y = √3/√8

OU PODEMOS DEIXA Y^2 = 3/8 PARA SUBSTITUIR EM UMA DAS EQUAÇÕES NO SISTEMA  

x^2 + y^2 = 1

x^2 + 3/8 = 1

x^2 = 1 - 3/8

x^2 = 8/8 - 3/8

x^2 = 5/8 ou x = √5/√8

tgx = x / y ou senx / cosx

tgx = √5/√8 / √3/√8 (DIVISÃO DE FRAÇÃO)

tgx = √5/√8 . √8/√3  

tgx = √40/√24 SIMPLIFICANDO POR 8 TEMOS QUE  

TGX = √5/√3

Answer 2

Com o estudo sobre equação trigonométrica temos como resposta

a)$x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{7\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{\pi }{3}+2\pi n,\:x=\frac{5\pi }{3}+2\pi n$

b)$a=\arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n,\:a=2\pi -\arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n,\:a=\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n,\:a=-\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n$

Equações trigonométricas

Igualdade onde há uma função trigonométrica com um ângulo desconhecido. As equações trigonométricas se dividem em dois tipos: equações imediatas e equações não imediatas.

Equações imediatas: Apresentam apenas uma função e seu método de resolução basta isolar a função.

Exemplo: sen(x) = 1/2, [0,2$\pi$[

Podemos observar que os valores de x, com [0,2$\pi$[, para os quais sen(x) = 1/2 são: $\pi$/6 ou $\pi$/5

Equações não imediatas: Apresenta mais de uma função. Exemplo: (2sen(x) - 1)(cos(x) - 1) = 0, com [0 , 2$\pi$[.

A solução dessa equação é 0, $\pi$/6, 5$\pi$/6

Sendo assim podemos resolver o exercício.

a)(4sen²(x) -2)(2cos(x)-1) = 0

Resolvendo cada parte separadamente

• 4sen²(x) - 2 = 0

ou

• 2cos(x) - 1 = 0

Daí teremos como solução

• $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{7\pi }{4}+2\pi n,\:x=\frac{\pi }{3}+2\pi n,\:x=\frac{5\pi }{3}+2\pi n$

b)

$sen^4\left(a\right)-cos^4\left(a\right)=\frac{1}{4}$

• $\mathrm{Subtrair\:}\frac{1}{4}\mathrm{\:de\:ambos\:os\:lados}$
• $\sin ^4\left(a\right)-\cos ^4\left(a\right)-\frac{1}{4}=0= > \frac{4\sin ^4\left(a\right)-4\cos ^4\left(a\right)-1}{4}=0$
• $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0\quad \Rightarrow \quad f\left(x\right)=0$
• $4\sin ^4\left(a\right)-4\cos ^4\left(a\right)-1=0$
• $\mathrm{Aplicar\:as\:propriedades\:dos\:expoentes:}\:a^b=a^2a^{b-2}$
• $-1-4\cos ^4\left(a\right)+4\sin ^2\left(a\right)\sin ^2\left(a\right)=0= >$ $3-8\cos ^2\left(a\right)=0$
• $\cos \left(a\right)=\frac{\sqrt{6}}{4},\:\cos \left(a\right)=-\frac{\sqrt{6}}{4}$

Combinar todas as soluções

• $a=\arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n,\:a=2\pi -\arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n,\:a=\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n,\:a=-\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+2\pi n$

Saiba mais sobre equação trigonométrica: https://brainly.com.br/tarefa/40258004

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