Question

Questão de Probabilidade, simples

Uma caixa contém 48 lâmpadas elétricas, das quais 10 são defeituosas. Todas as lâmpadas têm
aparência igual e igual probabilidade de serem escolhidas. Retiram-se 3 lâmpadas ao acaso.
(a) Qual a probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas?
(b) Qual a probabilidade de haver alguma defeituosa?

Answer 1

a) Temos 48 lâmpadas, dentre elas:

- 10 defeituosas

- 38 perfeitas

==> Casos (ao retirar 3 lâmpadas):

Obs: Retirar 3 lâmpadas ao acaso significa retirar as 3 ao mesmo tempo ou retirar 1 a 1 SEM REPOSIÇÃO.

Caso 1 - 3 perfeitas

Caso 2- 3 defeituosas

Caso 3- 2 perfeitas e 1 defeituosa

Caso 4- 2 defeituosas e 1 perfeita

Como queremos pelo menos 2 defeituosas, utilizaremos o caso 2 e 4.

Cálculo da Probabilidade do caso 2:

- Dividiremos as combinações de 10 lâmpadas defeituosas escolhidas 3 a 3, pelo total de combinações de 48 lâmpadas também tomadas 3 a 3.

P = C10,3 / C48,3

C10,3 = 10.9.8/3.2 = 10.3.4 = 120

C48,3 = 48.47.46/6 = 8.47.46  

P = 120/8.47.46 = 15/47.46 = 15/2162

Cálculo da Probabilidade do caso 4:

- Dividiremos: combinação de 10 lâmpadas defeituosas tomadas 2 a 2 VEZES (*) a combinação de 38 lâmpadas perfeitas tomadas 1 a 1 POR combinação de 48 lâmpadas tomadas 3 a 3.

P = (C10,2 * C38,1) / C48,3

P = (10.9/2 * 38) / 8.47.46

P = 45.38 / 8.47.46

P = 45.19 / 4.47.46

P = 855 / 8648

Agora devemos somar a P(2) com P(4) pois ocorrerá uma OU outra.

15 / 2162 + 855 / 8648 =

60 / 8648 + 855 / 8648 =

915 / 8648 =

915 / 8648 = 0,1058 = 10,58% aproximadamente

b) A probabilidade de haver alguma defeituosa é a soma dos casos 2, 3 e 4 ou a diferença entre a probabilidade total (1) e o caso 1.

Assim, temos:

1 - P(1)

Cálculo da probabilidade do caso 1:

- Dividiremos a combinação de 38 lâmpadas perfeitas, tomadas 3 a 3 pela combinação de 48 lâmpadas tomadas 3 a 3.

C38,3 / C48,3 =

(38.37.36/6) / (48.47.46/6) =

38.37.6 / 8.47.46 =

38.37.3/4.47.46 =

19.37.3/2.47.46 =

2109 / 4324 = 0,4877

Como devemos diminuir de P(1) de 1, temos:

1 - 2109/4324 = 4324/4324 - 2109/4324 = 2215/4324 = 0,5122 = 51,22% aproximadamente

Respostas:

Letra A)

$\boxed{\frac{915}{8648}}$

Letra B)

$\boxed{\frac{2215}{4324}}$