Question

Questãozinha de limite valendo 25 pts ;)

$\lim_{x \to -1} \frac{x}{x^2-1}$

OBS: preciso do estudo de continuidade de -1⁺ e -1⁻

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cefovi, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: pede-se para estudar o limite da seguinte função, levando em consideração o estudo de continuidade de "-1⁺" (quando "x" se aproxima pela direita) e de "-1⁻" (quando "x" se aproximada pela esquerda):

lim f(x) = x/(x²-1)

x-->-1

ii) Veja: para haver limite quando "x" tende a um certo "m", o resultado deverá ser o mesmo quer o "x" se aproxime de "m" pela direita (m⁺), quer o "x" se aproxime de "m" pela esquerda (m⁻). Se o resultado for diferente, então não haverá limite quando "x" estiver tendendo a esse um certo "m". Então vamos ver para o caso da sua questão:

ii.1) Considerando que "x" esteja se aproximando de "-1" pela esquerda (-1⁻), teremos:

lim f(x) = x / (x²-1)

x-->(-1)⁻

Note que, para isso, deveremos dar um valor a "x" bem pertinho de "-1" pela esquerda. Então vamos dar um valor a "x" de "-1,001". Assim, fazendo essa substituição, teremos:

f(-1,001) = -1,001/[(-1,001)² - 1] ------ desenvolvendo, temos:

f(-1,001) = -1,001 / [1,002001 - 1] ---- continuando o desenvolvimento:

f(-1,001) = -1,001 / (0,002001) ---- note que esta divisão dá:

f(-1,001) = -500,249......

Note que à proporção que você for dando valores a "x" cada vez mais perto de "-1" pela esquerda, o limite vai se tornando cada vez maior no sentido negativo, tendendo a "-∞". Logo, nessa situação teremos que:

lim f(x) = x/(x²-1) = - ∞

x-->(-1)⁻

ii.1) Considerando que "x" esteja se aproximando de "-1" pela direita (-1⁺), teremos:

lim f(x) = x / (x²-1)

x-->-1⁺

Vamos dar um valor a "x" bem pertinho de "-1", mas com o "x" se aproximado pela direita (-1⁺). Então vamos dar um valor a "x" de, por exemplo, x = -0,9998". Então teremos:

f(-0,9998) = -0,9998/[(-0,9998)² - 1] ---- desenvolvendo, temos:

f(-0,9998) = -0,9998 / [0,99960004 - 1] --- continuando, temos:

f(-0,9998) = -0,9998 / [-0,00039996] --- efetuando esta divisão, temos:

f(-0,9998) = 2.499,749977499

Note que à proporção que você for dando valores a "x" cada vez mais perto de "-1" pela direita, o limite vai se tornando cada vez maior no sentido positivo, tendendo a "+∞". Logo, nessa situação teremos que:

lim f(x) = x/(x²-1) = + ∞

x-->(-1)⁺

ii.3) Como o limite não é o mesmo, quer "x" se aproxima de (-1) pela esquerda (-1)⁻ ou pela direita (-1⁺), então dizemos que não há limite quando "x" se aproxima de "-1" na função f(x) = x/(x²-1).

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.