Question

Para medir a altura AB de um paredão vertical cuja base está em um terreno plano e horizontal, um alpinista fixou um ponto O do terreno, conforme a representação esquemática a seguir e mediu o ângulo AÔB e a distância OB. Sabendo que o ângulo AÔB tem medida alfa, com sen alfa= 15/17 e OB=40m, qual é a altura AB?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Letícia, que a resolução é simples, mas um pouco trabalhosa, pois teremos que saber o valor da hipotenusa "OA".

i) Pede-se a medida da altura "AB" de um paredão vertical, exatamente como está apresentado na foto anexada. Pela foto, vê-se que o sen(α) = 15/17, vê-se também que o lado "OB" mede 40 metros.

ii) Agora veja: pelas relações sen(α) e cos(α) dará para encontrar a altura "AB". Antes veja que se já temos que sen(α) = 15/17 então o cos(α) será encontrado pela primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual temos que:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ----- substituindo-se "x" por "α", teremos:

sen²(α) + cos²(α) = 1 ---- substituindo-se sen(α) por 15/17, teremos:

(15/17)² + cos²(α) = 1 ----- desenvolvendo, temos:

225/289 + cos²(α) = 1 ------ passando "225/289" para o 2º membro, temos:

cos²(α) = 1 - 225/289 -------- desenvolvendo o 2º membro, temos:

cos²(α) = (289*1 - 1*225)/289 ----- continuando o desenvolvimento, temos:

cos²(α) = (289-225)/289 ---- continuando, temos:

cos²(α) = 64/289 ------- isolando cos(α), temos:

cos(α) = ± √(64/289) ---- note que isto é equivalente a:

cos(α) = ± √(64) / √(289) --- como √(64) = 8 e como √(289) = 17, temos:

cos(α) = ± 8/17 ----- mas como se trata de um ângulo agudo, então o valor do cos(α) é positivo. Logo:

cos(α) = 8/17 <--- Este é o valor do cos(α).

iii) Agora vamos encontrar qual é a medida da hipotenusa "OA", pelas seguintes relações:

sen(α) = cateto oposto/hipotenusa ---- veja que o cateto oposto é a altura "AB" e a hipotenusa é o lado "OA". Assim teremos: ]

sen(α) = AB/OA ---- como já sabemos que sen(α) = 15/17, então teremos:

15/17 = AB/OA ------ multiplicando-se em cruz, teremos:

15*OA = 17*AB --- ou apenas:

15*OA = 17AB ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

17AB = 15*OA ----- isolando "AB", temos:

AB = 15*OA / 17      . (I) .

Agora vamos para a relação com o cosseno. Tem-se que:

cos(α) = cateto adjacente/hipotenusa. Substituindo-se cos(α) por "8/17" e substituindo-se o cateto adjacente por "40" e a hipotenusa por OA, teremos:

8/17 = 40/OA ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

8*OA = 17*40

8*OA = 680 ----- isolando "OA", teremos:

OA = 680/8 ---- note que esta divisão dá exatamente "85". Logo:

OA = 85 metros <--- Esta é a medida da hipotenusa "OA".

Finalmente, vamos encontrar a medida da altura "AB". Para isso, basta irmos na expressão (I), que é esta:

AB = 15*OA / 17 ----- substituindo-se "OA" por "85", teremos:

AB = 15*85 / 17 ------ como "15*85 = 1.275", teremos:

AB = 1.275 / 17 ---- finalmente veja que esta divisão dá "75". Logo:

AB = 75 metros <---- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a medida da altura AB pedida.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

Answer 2

Resposta:

     AB  (altura)  =  75 m

Explicação passo-a-passo:

..  Usaremos tg α

.   sen α  =  15/17

.

.   Pela relação fundamental:  sen² α  +  cos²α  =  1

.                                                   cos² α  =  1  -  sen² α                              

.                                                   cos² α  =  1  -  (15/17)²

.                                                   cos² α  =  1  -  225/289

.                                                   cos² α  =  64/289

.                                                   cos² α  =  (8/17)²

.                                                   cos α  =  8/17

.  tg α  =  AB / OB

.  sen α / cos α  =  AB / OB

.  AB . cos α  =  OB . sen α

.  AB  .  8/17  =  40 m . 15/17

.  AB . 8  =  40 m . 15           ( divide por 8 )

.  AB  =  5 m . 15

.  AB  =  75 m

.

(Espero ter colaborado)