Question

mostre que H= a+b√2 é um subgrupo de (Q,+).

Answer 1

Para que um um subconjunto H seja subgrupo de G é suficiente provar que

a*b' esta em H pois o elemento neutro de H é o mesmo de G. Então basta tomar u e y em H e mostrar que u*y' esta em H.

Answer 2

Tomemos $\mathsf{x\in\,H\,tal\,que\:x=u+v\sqrt{2}}$

Como H é subgrupo de G então $\mathsf{e_{H} =e_{G}=0}$

Daí

$\mathsf{x*x'=x'*x=e}$

$\mathsf{u+v\sqrt{2}+x'=0\rightarrow\,x'=-u-v\sqrt{2}}$

Tome um elemento y de H. Se provarmos que

$\mathsf{x*y'\in\,H}$ então H será subgrupo de G.

$\mathsf{y=k+l\sqrt{2}\rightarrow\,y'=-k-l\sqrt{2}}$

$\mathsf{x*y'=u+v\sqrt{2}+(-k-l\sqrt{2})}\\\mathsf{x*y'=(u-k) +(v-l)\sqrt{2}}$

fazendo$\mathsf{z=u-k\,com\:k\in\mathbb{Q}} \\\mathsf{w=v-l\,com\:w\in\mathbb{Q}}$ decorre que

$\mathsf{x*y'=z+w\sqrt{2}\in\,H}$

Portanto H é subgrupo de G

$\colorbox{black}{}$