Question

Calcule a área exata entre os gráficos de y= √x  e y=3x-10.

Answer 1

$y = \sqrt{x} →x = {y}^{2} \\ y = 3x - 10 \\ x = \frac{y + 10}{3}$

Vamos encontrar os pontos de intersecção!

${y}^{2} = \frac{y + 10}{3} \\ 3 {y}^{2} = y + 10 \\ 3 {y}^{2} - y - 10 = 0$

$3 {y}^{2} - 6y + 5y - 10 = 0 \\ 3y(y - 2) + 5(y - 2) = 0 \\ (y - 2)(3y + 5) = 0$

$y - 2 = 0 \\ y = 2$

$x = {y}^{2} \\ x = {2}^{2} = 4$

$∫ (\frac{y + 10}{3} - {y}^{2} )dy \\ = ∫ \frac{1}{3}ydy + ∫ \frac{10}{3} dy - ∫ {y}^{2} dy$

$\frac{1}{6} {y}^{2} + \frac{10}{3}y - \frac{1}{3}{y}^{3}$

Substituindo os limites de integração temos

$\frac{1}{6}.{2}^{2} + \frac{10}{3}.2 - \frac{1}{3}.{2}^{3} \\ = \frac{2}{3} + \frac{20}{3} - \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$

Nota : eu não substituí y por 0 porque iria zerar a expressão o que facilitou e muito o trabalho. Eu anexei uma imagem para facilitar uma visualização.

Portanto a área compreendida entre as curvas y=√x y=3x-10 vale 14/3 u. a