Matéria: Matemática
Autor: yasmim3184
Perguntado 7 anos atrás

calcule a fração geratriz de 18,142857142857...

adjemir: Observação a quem interessar possa: o número 18,142857142857... é uma dízima periódica, cujo período é: "...142857...", que se repete indefinidamente. Dessa forma, o número "18,142857142857..." é um número RACIONAL (e não irracional) e, como tal, ele tem a

adjemir: Continuando......sua equação geratriz. Fazendo os cálculos aqui de lado, encontramos que a fração geratriz da dízima periódica "18,142857142857..." é "127 / 7". Então, quem já respondeu à esta questão e informou se tratar de um número irracional deverá editar a sua resposta, ok?

yasmim3184: ok

adjemir: Entendemos que a Yasmin se equivocou e marcou a melhor resposta exatamente para quem respondeu que o número 18,142857142857... seria um número irracional. Não é irracional. É um número racional e a sua fração geratriz é exatamente a que demos aí em cima, ou seja, a fração geratriz do número dado é: 127 / 7. OK?

PauloRicardo86: vdd, não simplifiquei

PauloRicardo86: obgd

adjemir: Continuando.... A resposta do PauloRicardo está correta, embora ele não haja feito todas as simplificações necessária. Mas isso não impede de o raciocínio dele estar correto. Se ele tivesse feito todas as simplificações necessárias até tornar a fração geratriz na sua forma irredutível, iria encontrar "127 / 7". Mas seria a resposta dele que deveria ser marcada como a melhor e não a outra. Por isso é que afirmamos que a Yasmin marcou a melhor resposta de forma equivocada, ok?

PauloRicardo86: fiz agr, Adjemir ^^

yasmim3184: marquei sem querer, sou nova no aplicativo ;-;

Respostas

respondido por: PauloRicardo86

Resposta:

$\dfrac{18142839}{999999}$

Explicação passo-a-passo:

Seja $x=18,142857142857\dots~~(i)$

Multiplicando os dois lados dessa equação por $10^6$ , obtemos:

$1000000x=18142857,142857142857\dots~~(ii)$

Fazendo $(ii)-(i)$ membro a membro:

$1000000x-x=18142857,142857\dots-18,142857\dots$

$999999x=18142839$

$x=\dfrac{18142839\div142857}{999999\div142857}$

$x=\dfrac{127}{7}$

Um jeito mais rápido de fazer é:

$18,142857142857\dots=18+0,142857142857\dots$

Essa dízima $0,142857142857\dots$ tem $6$ algarismos no seu período, logo seu valor é $\dfrac{142857}{999999}$ (para cada algarismo do período colocamos um $9$ no denominador)

Assim:

$18,142857142857\dots=18+\dfrac{142857}{999999}=\dfrac{18\cdot999999+142857}{999999}$

$18,142857142857\dots=\dfrac{18142839\div142857}{999999\div142857}=\dfrac{127}{7}$

como antes

yasmim3184: Muito obrigada, sua explicação foi mt boa, me ajudou mt

PauloRicardo86: fiz de outro jeito, mais fácil

yasmim3184: blz

PauloRicardo86: tem outro usando pg, mas sabendo esses dois jeitos aí já tá ótimo

adjemir: Perfeito, PauloRicardo. Essa forma mais rápida de que você fala, embora realmente seja mais prática, mas ela envolve "decorar" algumas passagens e nem sempre os alunos têm a capacidade de "decorar". A forma pela qual você fez inicialmente é a mais indicada, pois não envolve "decorar" nada.

adjemir: Continuando..... Qualquer que seja a dízima periódica, a sua fração geratriz será sempre encontrada (sem "decorar" nada) pela primeira forma, que é aquela de multiplicar por uma potência de 10 capaz de, após algumas operacionalizações, fazermos com que o "período" desapareça. Finalmente, quando se chega ao resultado sempre é conveniente (não obrigatório, mas é conveniente) transformarmos a fração geratriz na sua forma irredutível, ok amigo?

yasmim3184: ok, entendi, mt obg pela explicação de vcs

PauloRicardo86: okay, mestre

yasmim3184: mestre?

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