03) Zero, um planeta hipotético, tem uma massa de 5,0 × 10 23 kg, um raio de 3,0 × 106 m e nenhuma
atmosfera. Uma sonda espacial de 10 kg deve ser lançada verticalmente a partir da superfície. (a) Se a sonda for lançada com uma energia inicial de 5,0 × 107 J, qual será a energia cinética da sonda quando ela estiver a 4,0 × 106 m do centro de Zero? (b) Com que energia cinética a sonda deverá ser lançada para atingir uma distância máxima de 8,0 × 106 m em relação ao centro de Zero?
Respostas
No caso podemos afirmar que:
a) A energia cinética do caso será dada por: Ec ≅ 2,92.10⁷ J
Para resolução da questão você terá que:
Massa do planeta (M) = 5.10²³ Kg;
Raio do planeta = 3.10⁶ m;
Massa da sonda (m) = 10kg
Lei da Gravitação universal: F = G.M.m/d²
⇒ m.g = G.M.m/d² ⇒ g(gravidade local)= G.M/d² (G = 6,67.10⁻¹¹)
Emecânica = Ecinética + Epotencial gravitacional
Em é conservada (Em₀ = Emf)
Assim, com a superfície do planeta como, temos:
Ec₀ = 5.10⁷ J
Em₀ = 5.10⁷ + m.g.h
Em₀ = 5.10⁷ + 10.g.0
Em₀ = 5.10⁷J = Emf
Importante notar que parte da energia cinética é convertida em potencial gravitacional. Assim, temos que a sonda possui Ec e Epg simultaneamente, que somadas são iguais à Em.
Assim:
Em = Ec + Epg
5.10⁷ = Ec + 10.g.(4.10⁶-3.10⁶)
Ec = 5.10⁷ - 1.10⁷.g
g = 6,67.10⁻¹¹.5.10²³/(4.10⁶)²
g ≅ 2,08 m/s²
Ec = 5.10⁷ - 1.10⁷.2,08
Ec ≅ 2,92.10⁷ J
b) No caso temos que a energia cinética será dada por: Ec ≅ 2,6.10⁷ J
Isso porque para atingir a distância máxima, a sonda deve converter toda sua energia cinética em energia potencial gravitacional.
Logo, essa mesma sonda irá entrar em repouso.
Assim, temos que no inicio do movimento:
Em₀ = Ec (pois Epg = 0).
No final, temos Emf = Epg (pois Ec = 0)
Como Em₀ = Emf, temos Ec = Epg
Assim, temos que:
Ec = m.g.h
Ec = 10.g.(8.10⁶-3.10⁶)
Ec = 5.10⁷.g
g = GM/d² ⇒ g = 6,67.10⁻¹¹.5.10²³/(8.10⁶)²
g = 0,52 m/s²
Ec = 5.10⁷.0,52
Ec ≅ 2,6.10⁷ J
espero ter ajudado!