Question

(b) Determine todos os valores rais de x para os quais vale a desigualdade (x^2 + 2x + 2)(x^2-2x-1) < 0.

Answer 1

Temos que (x² + 2x + 2)(x² - 2x - 1) < 0 no intervalo 1 - √2 < x < 1 + √2.

Primeiramente, vamos analisar cada uma das equações. Como são duas equações do segundo grau, então vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes.

Em x² + 2x + 2 = 0 temos que:

Δ = 2² - 4.1.2

Δ = 4 - 8

Δ = -4

Como Δ < 0, então a equação x² + 2x + 2 = 0 não possui raízes reais. Então, a função é positiva em todos os reais.

Agora, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara na equação x² - 2x - 1 = 0:

Δ = (-2)² - 4.1.(-1)

Δ = 4 + 4

Δ = 8

$x=\frac{2+-\sqrt{8}}{2}$

$x=\frac{2+-2\sqrt{2}}{2}$

x = 1 +- √2.

Ou seja, a função é positiva no intervalo (-∞,1 - √2) ∪ (1 + √2, ∞) e é negativa no intervalo (1 - √2, 1 + √2).

Portanto, (x² + 2x + 2)(x² - 2x - 1) < 0 no intervalo (1 - √2, 1 + √2).