Question

Suponha que o ponto (x1, x2) pertença a uma figura que se deseja girar 60° no sentido anti-horário.

a) Qual será então, a matriz transformação que deve ser multiplicada a para que ocorra tal giro de 60° no sentido anti-horário?

b) Quais as coordenadas da nova posição do ponto ?

c) Se tivermos (√3, 3), quais as coordenadas da nova posição de ?

Answer 1

Vamos utilizar os conceitos sobre rotação no plano cartesiano.

Trata-se de um problema de rotação 2D. Em problemas desse tipo, sempre que queremos rotacionar um elemento, basta multiplicarmos o elemento em questão (nesse caso um par de coordenadas) pela Matriz de Rotação. Um caso "parecido" ocorre quando fazemos uma Translação.

Nesse caso:

a) A matriz de transformação de rotação, no sentido anti-horário, é dada por:

$M = \left[\begin{array}{cc}cos\alpha &-sen\alpha \\sen\alpha &cos\alpha \end{array}\right]$

Para o ângulo de 60º:

$M = \left[\begin{array}{cc}cos60^o&-sen60^o\\sen60^o&cos60^o\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1/2&-\sqrt{3}/2 \\\sqrt{3}/2 &1/2\end{array}\right]= \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}1&-\sqrt{3} \\\sqrt{3} &1\end{array}\right]$

b) As coordenadas do novo ponto P' = (x1', x2') serão:

$P' = MP\\\left[\begin{array}{c}x1'&x2'\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1/2&-\sqrt{3}/2 \\\sqrt{3}/2 &1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x1&x2\end{array}\right]\\\left \{{{x1' = \frac{x1}{2} - \frac{x2\sqrt{3}}{2}}}\atop {x2'=\frac{x1\sqrt{3} }{2} + \frac{x2}{2}}}\right.$

c) Substituindo os valor de P(√3, 3), vamos ter:

$P' = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{3\sqrt{3} }{2}&\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\sqrt{3} &3\end{array}\right]$

Deste modo as novas coordenadas serão: P'(-√3, 3)

Você pode aprender mais sobre rotações aqui: https://brainly.com.br/tarefa/19937905