Question

A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. A equação que modela essa lei pode ser escrita como:


numerador d T sobre denominador d t fim da fração igual a menos k abre parênteses T menos T com a subscrito fecha parênteses


onde T é a temperatura do corpo, T com a subscrito é a temperatura ambiente, e k é uma constante de proporcionalidade. Considere o caso de resfriamento de uma xícara de café, sabendo que sua temperatura inicial é T parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a 90 à potência de o C, a temperatura ambiente T com a subscrito igual a 30 à potência de o C, e k igual a 0.0308. Qual a temperatura aproximada do café no instante t igual a 30?


Nenhuma das alternativas.


53.8 à potência de o C



63.8 à potência de o C



48.3 à potência de o C



38.2 à po

Answer 1

Resposta:

A temperatura final do café após o tempo descrito é T=53,81°C.

Resolução:

Primeiramente vamos explicitar a formulação descrita que rege o esfriamento de um corpo:

$\frac{dT}{dt}=k(Ta - T)$

Onde T é a temperatura do objeto, e Ta a temperatura ambiente constante. Agora pelo método de separação de variáveis, podemos resolver essa EDO:

$\frac{dT}{T - Ta}=-k dt$

Integrando indefinidamente os dois lados, obtemos:

$ln(T - Ta)= -kt + C$

Onde C é uma constante de integração a determinar pelos valores iniciais. Então podemos reescrever a equação:

$T-Ta={e}^{-kt + C}$

Agora vamos utilizar os valores iniciais. Sabendo que em t=0 (no tempo antes de esfriar), a temperatura T era igual a 90°C e Ta é 30°C, então substituindo os valores:

$ln(T - Ta)= -kt + C$

$ln(90 - 30)= -k0 + C$

$ln(60)=C$

Sendo assim descobrimos o valor de C, agora nossa equação de resfriamento fica:

$T-Ta={e}^{-kt + C}$

$T-Ta={e}^{-kt}{e}^{C}$

$T-Ta={e}^{-kt}{e}^{ln(60)}$

$T-Ta=60{e}^{-kt}$

E finalmente substituindo os valores para encontrar a temperatura em t=30 :

$T-30=60{e}^{-0,0308.30}$

$T-30=60{e}^{-0,0308.30}$

$T=30+60{e}^{-0,0308.30}$

$T=30+23,81$

T=53,81°C