Question

O engenheiro Nonato está elaborando um projeto para construir uma piscina. Sabe-se que o local onde a piscina será construída é a região limitada pelos gráficos de f e g, e pelas retas x = ‒ 2 e x = 2, onde f(x) = ‒ x + 5 e g(x) = x² ‒ 2, com unidade de medida graduada em metros.

a.) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e apresente a região da piscina conforme os dados apresentados.


b.) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pela piscina.


c.) Se a profundidade da piscina mede 1,5 m, apresente a quantidade necessária de água, em litros, para a mesma ser preenchida.

Answer 1

a) Imagem em anexo.

b) 8/3 m³

c) 4000 L de água.

Explicação passo-a-passo:

a.) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e apresente a região da piscina conforme os dados apresentados.

O Gráfico segue em anexo, onde a região da piscina, é a região entre os gráficos, de x=-2 ate x=2.

b.) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pela piscina.

A integral dessa região é a integral da diferença dessas duas funções, pois só queremos a aréa de uma até outra, então para isso pegamos a função que está por cima (x-5) e subtraimos a que esta por baixo (x²-2), então umas nova função:

h(x) = 5 - x - (x² - 3)

h(x) = -x² - x + 2

Agora basta integrarmos esta função diferença de x=-2 até x=2:

$\int\limits^2_{-2} {-x^2-x+2} \, dx$

Assim integramos, temos:

-x³/3 -x²/2 +2x

Aplicando os limites de integração:

A = -(2)³/3 -(2)²/2 +2(2) - (-(-2)³/3 -(-2)²/2 +2(-2))

A = -2/3 + 10/3

A = 8/3 m²

c.) Se a profundidade da piscina mede 1,5 m, apresente a quantidade necessária de água, em litros, para a mesma ser preenchida.

Sabemos que volume é profundidade vezes área, e como já sabemos a área da pscina:

V = 1,5 . 8/3

V = 12/3 = 4 m³

E como cada metro cubico cabe 1000 L de água, então:

V = 4 . 1000 = 4000 L