Question

Um relógio de pêndulo mecânico foi construído em um local onde a aceleração gravitacional é 9,8 m/s2. Ao ser levado para um lugar onde a aceleração gravitacional vale 11,3 m/s2, sem alterar a amplitude, a massa e o comprimento do pêndulo, este relógio: (alternativa 1) Começará a atrasar. (alternativa 2) Começará a adiantar. (alternativa 3) Marcará a hora exata. (alternativa 4) Aumentará sua amplitude. (alternativa 5) Precisará trocar sua massa.

Answer 1

Seja $\ell$ o comprimento do fio do pêndulo, $m$ a massa e $g$ a aceleração gravítica. Sendo $\theta$ o ângulo entre o fio e a vertical, a posição da massa num referencial $xOy$ com origem no ponto de suspensão do pêndulo é dada por:

$\begin{cases}x = \ell \sin\theta\\y = -\ell \cos\theta\end{cases} \implies\begin{cases}\dot{x} = \ell \dot{\theta}\cos\theta\\\dot{y} = \ell\dot{\theta}\sin\theta\end{cases} .$

O quadrado do módulo da velocidade da massa é então:

$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = \ell^2\dot{\theta}^2\sin^2 \theta + \ell^2\dot{\theta}^2\cos^2 \theta = \ell^2\dot{\theta}^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \ell^2\dot{\theta}^2.$

A energia cinética da massa é então:

$T = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{m\ell^2\dot{\theta}^2}{2}.$

A energia potencial gravítica da massa é dada por:

$V = mgy = -mg\ell\cos\theta.$

O lagrangiano do sistema é então:

$L = T-V = \dfrac{m\ell^2\dot{\theta}^2}{2} + mg\ell\cos\theta.$

A equação do movimento é obtida então a partir da equação de Euler-Lagrange:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = 0.$

As derivadas parciais que figuram na equação são:

$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \dfrac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \left(\dfrac{m\ell^2\dot{\theta}^2}{2} + mg\ell\cos\theta\right) = m\ell^2\dot{\theta}.\\\\\dfrac{\partial L}{\partial \theta} = \dfrac{\partial}{\partial \theta} \left(\dfrac{m\ell^2\dot{\theta}^2}{2} + mg\ell\cos\theta\right) = -mg\ell\sin\theta.$

Portanto:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \iff \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(m\ell^2\dot{\theta}\right) = -mg\ell\sin\theta \iff m\ell^2\ddot{\theta} = -mg\ell\sin\theta \iff \\\\\iff \ddot{\theta} = -\dfrac{g}{\ell}\sin\theta.$

Para ângulos pequenos, temos $\sin\theta \simeq \theta$, pelo que nessa aproximação podemos resolver a equação exatamente:

$\ddot{\theta} = -\dfrac{g}{\ell}\theta \iff \theta = A\sin\left(\omega t\right) + B\cos\left(\omega t\right), \qquad \textrm{com } \omega = \sqrt{\dfrac{g}{\ell}},$

onde as constantes reais $A$ e $B$ são determinadas a partir das condições iniciais do movimento.

Fica então claro que a frequência de oscilação é proporcional à raiz de $g$, pelo que o aumento da aceleração gravítica implica o aumento da frequência de oscilação. Como tal, o relógio começar-se-á a adiantar. Note-se ainda que $\omega$ não depende de $m$, pelo que trocar a massa não altera o seu comportamento.