Question

Um círculo contido no 1° quadrante, tangencia o eixo das ordenadas e a reta de equacao y=3x/4. Determine a equação da reta que passa pelo centro desse círculo

Answer 1

Se pegarmos uma reta ortogonal à y = 3x/4 teremos uma reta que passa pelo centro da circunferência

Para isso basta inverter e opor o coeficiente angular da reta, neste caso é 3/4, invertendo 4/3 e seu oposto -4/3

y = -4x/3

Answer 2

Resposta:

Fala, blz! Talvez vc não tenha mais essa dúvida, mas creio que há outros que tenham. Vou tentar ser bem detalhado na resposta pois eu tbm tive problemas em encontrá-la.

Explicação passo-a-passo:

1. Desenhar o problema é a forma mais fácil pra encontrar a resposta.  (imagem 1)
2. Como queremos descobrir a reta onde o centro dessa circunferência passa, devemos utilizar uma outra circunferência (de centro (0,0)) para encontrar o ponto médio de sua corda que vai de um ponto do eixo das ordenadas(L) a de um ponto da reta y=3x/4 (ponto K da reta s). Digamos que essa circunferência tenha raio 2, sua equação ficaria x²+y²=4.
3. Por que disso? Com isso descobrimos o ponto L e o ponto K (pontos esses que estão localizados também na circunferência), para fazermos a média(P) entre esses dois pontos. Essa média divide a área entre as ordenadas e a reta y=3x/4 ao meio. Sendo assim, traçando uma reta do ponto (0,0) até a média(P) e em diante, temos uma reta que passará no centro da circunferência que queremos achar - e também no centro de qualquer outra circunferência nessa situação, independente do tamanho. (imagem 2)
4. Agora, precisamos encontrar as extremidades da corda, o ponto L e o ponto K. O ponto L tem (0,2), precisamos do ponto K. Para isso, temos que relacionar a eq. da circunferência e a eq. da reta:

$y=3x/4 \\x^{2} + y^{2}=4\\entao\\x^{2} + (\frac{3x}{4})^{2}=4\\x^{2}+\frac{9x^{2}}{16}=4\\x^2=4*\frac{16}{25}\\x=\sqrt{\frac{64}{25}}\\x=\frac{8}{5}$

Agora que temos X de K, precisamos do Y:

$y=\frac{3}{4}x\\y=\frac{3}{4}*\frac{8}{5}\\y=\frac{6}{5}$

Agora que temos L(0,2) e K(8/5,6/5), precisamos da media entre esses dois pontos:

$x_{m}= \frac{x_{l}+x_{k}}{2}, y_{m}=\frac{y_{l}+y_{k}}{2}\\ x_{m}= \frac{\frac{8}{5}}{2}, y_{m}=\frac{\frac{6}{5}+2}{2}\\x_{m}= \frac{4}{5}, y_{m}=\frac{8}{5}$

Como temos o ponto médio(4/5,8/5) precisamos encontrar o coeficiente angular(m) para construirmos nossa equação da reta (obs: "n" é o coeficiente linear, onde a reta corta o eixo das ordenadas. E como ele corta no ponto 0, seu valor é 0):

$y=mx+n\\\frac{8}{5} = m*\frac{4}{5} + 0\\m=\frac{8}{5} * \frac{5}{4}\\m=2$

Tendo então, o valor de M, basta substituir construir a formula:

$y=mx+n\\y=2x+0\\y=2x\\ou \\2x-y=0$

E pronto. Resposta 2x-y=0

Sei que ficou grande, mas entender essa questão, significa estar num ponto avançado da geometria analítica. Espero ter ajudado.