Question

Determine a Im(f) e o valor máximo da função quadrática f(x) = $x^{2} + 4x - 2$

Answer 1

A função $x^{2} + 4x - 2$ possui valor de "a" positivo. Isso significa que a concavidade da parábola está para CIMA, ou seja, possui valor MÍNIMO (e não máximo).

Para achar o valor mínimo, devemos calcular o "y do vértice" cuja fórmula é:

$\frac{ - (b {}^{2} - 4.a.c)}{4.a} = \frac{ - (16 - 4.1.( - 2))}{4.1} = \frac{ - 24}{4} = - 6$

yv = -6

O conjunto da imagem, nesse caso, é composto por todos os reais com valores ACIMA do yv. Para representar esse conjunto, excluiremos todos os valores ABAIXO do yv.

$Im = IR - \: \: ]-6, - \infty [$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Olá :D

Esta é uma questão de máximos e mínimos. Como temos uma função de segundo grau podemos apenas verificar o coeficiente do x², como ele é positivo o valor é MÍNIMO, caso o x² fosse negativo o valor seria MÁXIMO. Vamos verificar o valor através de duas maneiras.

A primeira é através da fórmula:

y do vértice = -Δ/4a

y do vértice = - (4² - 4 * 1 * (-2)) / 4

y do vértice = - (16 + 8)  4

y do értice = -24/4

y do vértice = -6

Este é o ponto mínimo da função. :)

Outra maneira de acharmos o ponto máximo e mínimo da função é através da derivada primeira, portanto:

f(x) = x² + 4x - 2

f '(x) = 2x + 4

Acharemos o ponto máximo ou mínimo quando f '(x) = 0, portanto:

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -4/2

x = -2

Substituindo x em f(x):

f(-2) = (-2)² + 4*(-2) - 2

f(-2) = 4 - 8 - 2

f(-2) = 4 - 10

f(-2) = -6

Encontramos novamente :)

Agora que temos que o valor mínimo é -6 e a concavidade é para cima, portanto a imagem vai de -6 até +∞, logo:

Im(f) = [-6, +∞[

(caso mesmo assim você queria o VALOR MÁXIMO... ele será +∞ :)

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida é só comentar ;)

Bons estudos