Question

1) O cálculo do volume de sólidos formados por meio de rotação é uma das aplicações do cálculo diferencial e integral. Sabe-se que a parte interna de uma taça pode ser formada girando a parábola y = ax² em torno do eixo y. Considerando que a taça tem uma altura de 6 cm e que seu volume é de 400 cm³ assinale a alternativa que contém o valor aproximado de a.
Alternativas:
a) 0,14.
b) 0,045.
c) 1,11.
d) 0,75.
e) 1,50.

Answer 1

O valor aproximado de a é 0,14.

Como queremos a revolução em torno do eixo y, temos que escrever a equação como função de y:

y = ax²

x = √y/a

A fórmula para sólidos de revolução é:

∫π.f(y)² dy

Como a altura da taça é 6 cm, temos que o limite de integração é 0 ≤ y ≤ 6, assim, temos:

$V = \int\limits^6_0 {\pi f(y)^2} \, dy\\V = \int\limits^6_0 {\pi (\sqrt{\frac{y}{a}})^2} \, dy\\V = \int\limits^6_0 {\pi \frac{y}{a}} \, dy\\V = \dfrac{\pi}{a}\left(\dfrac{y^2}{2}\right)|_0^6\\V = \dfrac{18\pi}{a}$

Como o volume é 400 cm³, temos:

400 = 18π/a

a = 18π/400

a = 0,1413

Resposta: A