Question

Em IR², uma circunferência de centro no ponto C(4, -3) é tangente à reta de equação x-y+3=0. Se essa circunferência tem equação x²+y²+px+qy+r=0, o valor de (p+q-r) é:
a) 21
b) 23
c) 25
d) 27
e) 31

Answer 1

Olá.

A primeira coisa a se fazer é achar o raio dessa circunferência, basta calcular a distância do centro a reta:

$d_{ cr }=\frac { |ax+by+c| }{ \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } }$

Onde x e y são o centro, e a, b e c são os coeficientes da reta dada.

$d_{ cr }=\frac { |1(4)-1(-3)+3| }{ \sqrt { 1^{ 2 }+(-1)^{ 2 } } } \\ \\ d_{ cr }=\frac { |4+3+3| }{ \sqrt { 2 } } \\ \\ d_{ cr }=\frac { 10 }{ \sqrt { 2 } }$

Agora que temos o raio poderemos achar a equação, usando a equação genérica:

$x^2-2*xo*x+xo^2+y^2-2*yo*y+yo^2=r^2$

Onde xo e yo são o centro, e r o raio.

$x^{ 2 }-2*4x+4^{ 2 }+y^{ 2 }-2*(-3)y+(-3)^{ 2 }=(\frac { 10 }{ \sqrt { 2 } } )^{ 2 }\\ \\ x^{ 2 }-8x+16+y^{ 2 }+6y+9=50\\ \\ x^{ 2 }+y^{ 2 }-8x+6y-25=0$

A soma que ele pediu resultará em:

$-8+6-(-25)=\boxed{\boxed {23}}$