Um bêbado começa sua caminhada a partir do poste de luz na metade de uma rua, dando passos de iguais comprimentos para a direita ou para a esquerda, com igual probabilidade.
Qual é a probabilidade de que o homem volte a estar no poste de luz após dar N=12 passos? Perceba que, nesse caso, N é um número par:
Respostas
A probabilidade P é de 0,225 ou 22,5% de chances.
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente precisamos saber todas as possibilidades. Cada passo tem 2 possibilidades diferentes, se ele vai dar 12 passos então:
2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 2^12
Ou seja, temos 2^12 formas diferentes deste bebado se locomover em 12 passos.
Agora vamos analisar só os casos em que ele sempre volta para inicio. Quando isto acontece significa que ele fez uma combinação onde ele sempre anula um passo em uma direção com um passo na direção contrária, ou seja, sempre haverão 6 passo para esquerda e 6 para a direita, então temos que:
DDDDDDEEEEEE
Estas são as coordenadas de como ele se deslocou, mas não precisa ser necessariamente nesta ordem, então para isso vamos embaralhar estas coordenadas com uma permutação:
12!/(6!6!) = 11.2.3.2.7 = 924
Ou seja, tem 924 forma diferentes de ele dar 12 passo e voltar ao inicio, sendo assim, a probabilidade é a quantidade de evento que queremos sobre todos os eventos possiveis, então:
P = 924/(2^12) = 0,225 ou 22,5%