Question

Seja ABCD um quadrilatero convexo. Se E e o ponto medio do lado AB e F e o ponto medio do lado
oposto DC, mostre que E~F = 1
2 (A~D + B~C).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

´E o quadrila´tero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD.

Teorema 1: Se ABCD ´e um paralelogramo, enta˜o: i) Os lados opostos sa˜o congruentes.

ii) Os aˆngulos opostos sa˜o congruentes.

iii) Dois aˆngulos consecutivos sa˜o suplementares.

iv) As diagonais cortam-se ao meio.

Prova: Seja o paralelogramo ABCD da figura:

i) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triaˆngulos (I) e (II), assim formados. Temos:      ˆ 1 ≡ ˆ4 (alternos internos) BD ≡ BD (comum) ˆ 3 ≡ ˆ2 (alternos internos) =⇒ ALA ∆I = ∆II ⇒     AB ≡ CD e BC ≡ AD ii) Se ∆I = ∆II (item i), enta˜o ˆ A ≡ ˆ C, pois s˜ao aˆngulos opostos a lados congruentes em triˆangulos congruentes.

Por outro lado:

ˆ 1 ≡ ˆ 4 ⇒ m(ˆ 1) = m(ˆ 4) ˆ 2 ≡ ˆ 3 ⇒ m(ˆ 2) = m(ˆ 3)

⇒( m(ˆ 1) + m(ˆ 2) = m(ˆ 4) + m(ˆ 3) ⇒ m(ˆ B) = m(ˆ D) ⇒ ˆ B ≡ ˆ D

Seja o paralelogramo ABCD.

Temos que: AB k CD e AD k BC ⇒         ˆ A + ˆ B = 180◦ ˆ B + ˆ C = 180◦ ˆ C + ˆ D = 180◦ ˆ D + ˆ A = 180◦

(ˆangulos colaterais internos)

iv) Seja o paralelogramo ABCD, tracemos as diagonais AC e BD, que se cortam em um ponto M.

    

ˆ 1 ≡ ˆ4 (alternos internos) AB ≡ CD (item i) ˆ 3 ≡ ˆ2 (alternos internos)

=⇒ ALA

∆I = ∆II ⇒    

AM = MC e BM = MD

⇒ M ´e ponto m´edio das diagonais AC e BD.

OBS: Todo quadrila´tero convexo que gozar de uma das propriedades acima ser´a um paralelogramo e gozara´ de todas as outras propriedades.

Teorema 2: Se um quadril´atero convexo tem dois lados opostos paralelos e congruentes, ent˜ao esse quadrila´tero ´e um paralelogramo. Prova: Seja ABCD um quadril´atero convexo com AD k BC e AD ≡ BC.

Tracemos a diagonal AC e sejam os triaˆngulos (I) e (II). Temos:

    

AC ≡ AC (comum) ˆ 2 ≡ ˆ3 (alternos internos) AD ≡ BC (hip´otese)

=⇒ LAL

∆I ≡ ∆II ⇒ ˆ 1 ≡ ˆ 4

Logo, os lados AB e CD do quadrila´tero sa˜o paralelos. Da´ı, AD k BC e AB k CD ⇒ ABCD ´e um paralelogramo.

Exerc´ıcios Resolvidos

1. Em um paralelogramo ABCD, o ˆangulo ˆ A mede 50◦. Determine os outros trˆes ˆangulos desse paralelogramo.

Soluc¸˜ao: Seja ABCD um paralelogramo e ˆ A = 50◦.

Usando (ii) e (iii) do teorema 1, vem: ˆ A + ˆ B = 180◦ e ˆ A = ˆ C e ˆ B = ˆ D ⇒ ˆ B = 130◦, ˆ C = 50◦ e ˆ D = 130◦.

2. Determine o ˆangulo entre as bissetrizes de dois ˆangulos consecutivos de um paralelogramo.

Soluc¸˜ao: Seja ABCD o paralelogramo da figura e

−−→ AM e

−−→ BM as bis

setrizes dos ˆangulos consecutivos ˆ A e ˆ B.

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