Question

Considere a função.. Segue o anexo

Answer 1

$f(x)=\frac{\frac{1}{x-1}}{x+1}+\sqrt{2x^2+6x+4}$

$f(x)=\frac{1}{(x-1).(x+1)}+\sqrt{2.(x^2+3x+2)}$

$f(x)=\frac{1}{x^2-1}+\sqrt{2.(x^2+3x+2)}$

Nesse caso temos duas condições de existência

Não pode haver divisão por 0 e nem raiz negativa, então

x² - 1 ≠ 0

e

x² + 3x + 2 ≥ 0

Vamos lá:

x² - 1 ≠ 0

x² ≠ 1

x' ≠ 1

x'' ≠ -1

e

x² + 3x + 2 ≥ 0

Como a > 0 temos concavidade para cima, os valores positivos são os que estão fora do intervalo de raízes, vamos achar as raízes.

Δ = b² - 4.a.c  

Δ = 3² - 4 . 1 . 2  

Δ = 9 - 4. 1 . 2  

Δ = 1

Há 2 raízes reais.

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (-3 + √1)/2.1    

x'' = (-3 - √1)/2.1

x' = -2 / 2    

x'' = -4 / 2

x' = -1    

x'' = -2

Então quando x ≥ -1 e x ≤ -2 a raiz não será negativa

Juntando as condições temos que:

x ≠ 1

x ≠ -1

x ≥ -1

x ≤ -2

Não podemos ter x ≥ -1 uma vez que x ≠ -1 então, x > 1

Ficamos então com:

Domf = ]-∞, -2] U ]-1, 1[ U ]1, +∞[