Question

Mostre q P(7,0) é exterior á circunferência x²+y²-6x+4y+9=0. Determine as eq. das tangentes que passam pelo P?

Answer 1

O ponto P é exterior à circunferência e as retas tangentes que passam por P são: y = 0 e 4x/3 - y = 28/3.

Para mostrar que o ponto P = (7,0) é exterior à circunferência x² + y² - 6x + 4y + 9 = 0 basta verificar que a distância do centro da circunferência ao ponto P é maior que o raio.

Então, completando quadrado, temos que:

x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 = -9 + 9 + 4

(x - 3)² + (y + 2)² = 4

ou seja, o centro é C = (3,-2) e o raio é r = 2.

A distância entre C e P é igual a:

$d=\sqrt{(7-3)^2+(0+2)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$.

Como 2√5 > 2, então o ponto P é exterior à circunferência.

A equação da reta é da forma y = ax + b. Como a reta passa pelo ponto (7,0), então:

0 = 7a + b

b = -7a.

Logo, a reta é da forma ax - y - 7a = 0.

Como a reta é tangente à circunferência, então a distância do centro à reta é igual ao raio, ou seja, igual a 2:

$\frac{|3.a-2.(-1)-7a|}{\sqrt{a^2+1}}=2$

$-2a + 1 = \sqrt{a^2+1}$

4a² - 4a + 1 = a² + 1

3a² - 4a = 0

a(3a - 4) = 0

a = 0 ou a = 4/3.

Portanto, as retas são: y = 0 e 4x/3 - y = 28/3.