Question

Seja V=R² o conjunto de todos os pares ordenados de numeros reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
i.u + v= (x,y)+(s,t)=(x+s+2,y+t-1),
ii.au=a(xy)=(ax+2a-2,ay-a+1)
a) Calcule u + v e au para u = (-1,2)v = (2-1)e a=3
b) mostre que (0,0) diferente de 0 ( vetor nulo do conjunto com essa operação)
c) Dado u= (x,y), quem é -u?
d) dado u=(x,y), mostre que u +(-u)=0
e0 Mostre que V com essas operações é um espaço vetorial.

Answer 1

Vamos aplicar as propriedades fornecidas pelo enunciado, tanto para adição quanto para multiplicação.

Aqui temos um espaço vetorial no R².

a) Multiplicação:

$3u = 3(-1,2) = (3*(-1)+2*3 +2, 3*2 - 3 +1) = (5,4)$

Adição:

$u + v = (-1,2) + (2,-1) = (-1+2+2, 2-1-1) = (3,0)$

b) Vamos calcular o vetor nulo:

Sendo u = (x.y):

u - u = (x,y) - (x,y) = (x - x + 2, y - y - 1) = (2,-1)

Que é diferente do vetor (0,0). Portanto, nesse espaço V, o vetor nulo será diferente de (0,0).

c) Aqui vamos ter a = -1. Ou seja:

Sendo u = (x,y):

-u = (-1)u = (-x -2 -2, -y +1 +1) = (-x-4, -y+2)

d) Vamos utilizar o resultado de -u que achamos na letra c). Logo:

u + (-u) = (x,y) + (-x-4, -y+2) = (x - x - 4 + 2, y - y + 2 -1) = (-2, 1)

Que é igual a menos o vetor (u-u), logo u + (-u) = 0

e) Para verificar se V é um espaço vetorial, vamos analisar cada uma das 8 propriedades básicas:

Sendo u = (a, b), v = (c, d) e w = (e, f):

A1)

u + (v + w) = u + (c + e + 2, d + f - 1) = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

(u + v) + w = (a + c + 2, b + d - 1) + w = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

Comparando, vemos que são iguais.

A2)

u + v = (a + c + 2, b + d - 1)

v + u = (a + c + 2, b + d - 1)

Comparando, são iguais também;

A3)

u + 0 = (a,b) + (-2,1) = (a - 2 + 2, b + 1 - 1) = (a,b) = u

Logo, é verdadeiro.

A4)

u + (-u) = 0, conforme vimos na letra d), logo também é verdadeiro.

M1)

k(u+v) = k(a + c + 2, b + d - 1) = (ka + kc + 2k + 2k - 2, kb + kd - k - k + 1) = (ka + kc + 4k - 2, kb + kd - 2k + 1)

Agora vamos fazer ku e kv:

ku = (ka + 2k - 2, kb - k + 1)

kv = (kc + 2k - 2, kd - k + 1)

Por fim, vamos fazer (ku) + (kv):

(ku) + (kv) = (ka + kc + 4k - 4 + 2, kb + kd  - 2k + 2 - 1) = (ka + kc + 4k + 2, kb + kd - 2k + 1)

Portanto, são iguais. Logo também é verdadeiro.

M2)

(gk)u = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

E:

g(ku) = g(ka + 2k -2, kb - k + 1) = (gka + 2gk - 2g + 2g - 2, gkb - gk + g - g + 1) = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

São iguais, portanto é verdadeiro.

M3)

(g + k)u = ((g+k)a + 2(g+k) - 2, (g+k)b - (g+k) + 1)

E ainda:

gu = (ga + 2g - 2, gb - g + 1)

ku = (ka + 2k - 2, kb - k + 1)

gu + ku = (ga + 2g - 2 + ka + 2k - 2 + 2, gb - g + 1 + kb - k + 1 - 1) = ((g+k)a + 2(g+k) -2, (g+k)b - (g+k) + 1)

São iguais, portanto é verdadeiro.

M4)

1u = (a + 2 - 2, b - 1 + 1) = (a,b) = u

Também é verdadeiro.

Sendo assim, como todas as condições são verdadeiras, V é um espaço vetorial.

Você pode aprender mais sobre espaços vetoriais aqui: https://brainly.com.br/tarefa/18966565

Answer 2

Resposta:

A)

u + v = (-1 ,2) + (2, -1) = (-1 + 2+2,2-1-1) =(3,0)

au = 3(-1, 2)=((3(-1))+(2*3) - 2, (3*2) - 3 + 1) = (1,4)

B) Calcular o vetor nulo:

Sendo u = (x.y):

u - u = (x,y) - (x,y) = (x - x + 2, y - y - 1) = (2,-1)

(2,-1) é diferente (0,0). No espaço V, o vetor nulo será diferente de (0,0).

C)   Seja a = -1.

Sendo u = (x,y):

-u = (-1)u = (-x -2 -2, -y +1 +1) = (-x-4, -y+2)

D) Utilizando o resultado de -u da letra c).

Temos: u + (-u) = (x,y) + (-x-4, -y+2) = (x - x - 4 + 2, y - y + 2 -1) = (-2, 1)

Logo u + (-u) = 0

E) Verificando se V é um espaço vetorial.

Para isso checamos cada uma das 8 propriedades básicas:

Sendo u = (a, b), v = (c, d) e w = (e, f):

A1)  

u + (v + w) = u + (c + e + 2, d + f - 1) = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

(u + v) + w = (a + c + 2, b + d - 1) + w = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

Comparando, vemos que são iguais.

A2)

u + v = (a + c + 2, b + d - 1)

v + u = (a + c + 2, b + d - 1)

Comparando, são iguais também;

A3)

u + 0 = (a,b) + (-2,1) = (a - 2 + 2, b + 1 - 1) = (a,b) = u

Logo, é verdadeiro.

A4)

u + (-u) = 0, conforme vimos na letra d), logo também é verdadeiro.

M1)  

k(u+v) = k(a + c + 2, b + d - 1) = (ka + kc + 2k + 2k - 2, kb + kd - k - k + 1) = (ka + kc + 4k - 2, kb + kd - 2k + 1)

Agora vamos fazer ku e kv:

ku = (ka + 2k - 2, kb - k + 1)

kv = (kc + 2k - 2, kd - k + 1)

Por fim, vamos fazer (ku) + (kv):

(ku) + (kv) = (ka + kc + 4k - 4 + 2, kb + kd  - 2k + 2 - 1) = (ka + kc + 4k + 2, kb + kd - 2k + 1)

Portanto, são iguais. Logo também é verdadeiro.

M2)  

(gk)u = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

E:

g(ku) = g(ka + 2k -2, kb - k + 1) = (gka + 2gk - 2g + 2g - 2, gkb - gk + g - g + 1) = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

São iguais, portanto é verdadeiro.

M3)

(g + k)u = ((g+k)a + 2(g+k) - 2, (g+k)b - (g+k) + 1)

E ainda:

gu = (ga + 2g - 2, gb - g + 1)

ku = (ka + 2k - 2, kb - k + 1)

gu + ku = (ga + 2g - 2 + ka + 2k - 2 + 2, gb - g + 1 + kb - k + 1 - 1) = ((g+k)a + 2(g+k) -2, (g+k)b - (g+k) + 1)

São iguais, portanto é verdadeiro.

M4)

1u = (a + 2 - 2, b - 1 + 1) = (a,b) = u

Também é verdadeiro.

Assim, identificando que todas as condições são verdadeiras.

Portando, V é um espaço vetorial.

Explicação passo-a-passo: