João decide viajar no final de semana. Ele parte de Juiz de Fora rumo a Rio de Janeiro com velocidade constante de 110 km/h. Na metade do percurso é obrigado a diminuir a velocidade para 80 km/h e chega ao Rio de janeiro com um atraso de 40 minutos.
a) Qual a distância entre Juiz de Fora e Rio de Janeiro?
b) Qual o tempo empregado na viagem?
Respostas
Seja x a distância entre Juiz de Fora e Rio de Janeiro.
Metade do percurso foi realizada com velocidade constante de 110 km/h, e a outra metade se deu com velocidade constante de 80 km/h.
Com esses dados, podemos calcular a velocidade escalar média empregada no percurso inteiro.
A velocidade escalar média é a razão entre a variação de espaço e o intervalo de tempo decorrido:
Vm = ΔS/Δt
Dividindo o percurso em dois trechos e aplicando a definição de velocidade média escalar, temos:
110 = (x/2)/t1
80 = (x/2)/t2
Isolando t1 e t2 nas duas equações:
t1 = (x/2)/110 = x/220
t2 = (x/2)/80 = x/160
A velocidade escalar média no percurso inteiro será a razão entre a variação de espaço no percurso inteiro e o intervalo de tempo decorrido no percurso inteiro:
Vm = x/(t1 + t2)
Vm = x/(x/220 + x/160)
Vm = x/(80x/17600 + 110x/17600)
Vm = x/(190x/17600)
Vm = 17600x/190x
Vm = 92,63 km/h
Agora, vamos comparar a situação com atraso com a situação sem atraso.
Seja x a distância em km e t o tempo gasto para fazer o percurso sem atraso.
Se não houvesse atraso, a velocidade média escalar seria 110 km/h no percurso inteiro:
Vm = ΔS/Δt
110 = x/t
x = 110t
Com atraso, a velocidade média escalar é 92,63 km/h no percurso inteiro e levamos 40 minutos a mais. É necessário converter esse tempo em minutos para horas para que as unidades de medida fiquem coerentes. 40 minutos correspondem a 2/3 de 1 hora, logo, se levamos 40 minutos a mais, levamos 2/3 h a mais.
Se houver atraso, temos:
Vm = ΔS/Δt
92,63 = x/(t + 2/3)
x = 92,63*(t + 2/3)
x = 92,63t + 61,75
Como a distância x é a mesma para as duas situações (com atraso e sem atraso), temos:
110t = 92,63t + 61,75
110t - 92,63t = 61,75
17,37t = 61,75
t = 61,75/17,37
t = 3,55 horas
Repare que t é o tempo gasto na viagem caso não houvesse atraso.
Agora, respondendo os itens:
a)
Se t = 3,55 horas é o tempo gasto sem atraso, então, aplicando a definição de velocidade escalar média, temos:
Vm = ΔS/Δt
110 = ΔS/3,55
ΔS = 110*3,55
ΔS = 390 km
b)
O tempo empregado na viagem sem atraso seria t = 3,55 h.
Multiplicando por 60, encontramos esse tempo em minutos: 3,55*60 = 213 minutos.
Como houve um atraso de 40 minutos, então o tempo gasto na viagem com atraso foi 213 + 40 = 253 minutos.
Espero ter ajudado.