Question

Se m e n são tais que o polinômio: (m.n – 2) x3 + (m2 – n
2 – 3)x2 + ( m + n – 3)x + 2m -5n + 1 é
identicamente nulo, qual o valor de m2 + n2 ?

Answer 1

Se P(x) ≡ 0, então todos os seus coeficientes devem ser nulos.

Como: P(x) = (m.n - 2)x³ + (m² - n² - 3)x² + (m + n - 3)x + (2m - 5n + 1)

Segue que:

mn - 2 = 0   (I)

m² - n² - 3 = 0   (II)

m + n - 3 = 0   (III)

2m - 5n + 1 = 0   (IV)

De III, temos que:

m + n - 3 = 0

m + n = 3

(m + n)² = 3²

(m + n)² = 9

m² + 2mn + n² = 9

m² + n² = 9 - 2mn   (V)

De (I), obtemos:

mn - 2 = 0

mn = 2   (VI)

Substituindo VI em V:

m² + n² = 9 - 2mn

m² + n² = 9 - 2(2)

m² + n² = 9 - 4

m² + n² = 5

Vamos verificar que não existe outra solução para m² + n². Para tanto, usemos o sistema formado por III e IV.

m + n - 3 = 0   (III)

2m - 5n + 1 = 0   (IV)

De III:

m + n - 3 = 0

m + n = 3

2m + 2n = 6   (VII)

Subtraindo IV de VII:

2m + 2n = 6

(2m + 2n) - (2m - 5n + 1) = (6) - (0)

7n - 1 = 6

n = 1

Substituindo em III:

m + n - 3 = 0

m + 1 - 3 = 0

m = 2

Note que o par m = 2 e n = 1 satisfaz as quatro equações.

(I)   mn - 2 = 0 → (2)(1) - 2 = 0

(II)   m² - n² - 3 = 0 → (2)² - (1)² - 3 = 0

(III)   m + n - 3 = 0 → (2) + (1) - 3 = 0

(IV)   2m - 5n + 1 = 0 → 2(2) - 5(1) + 1 = 0

De fato: m² + n² = (2)² + (1)² = 5

Qualquer dúvida, comente! Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

m² + n² = 5

Explicação passo-a-passo:

Para um polinômio ser nulo, seus coeficientes precisam ser nulos. Uma forma rápida de se fazer essa questão é:

Sabendo que P(x) = (mn-2)x³ + (m²-n²-3)x² + (m+n-3)x + 2m-5n+1

Logo,

mn-2 = 0 ⇒ mn = 2

m²-n²- 3 ⇒ m²-n² =3

m + n - 3 = 0 ⇒ m + n = 3

2m-5n+1 = 0 ⇒ 2m-5n = -1

Você já terá artifícios para resolver sem fazer sistemas:

(m+n)² = m² + n² + 2mn

(3)² = m² + n² + 2*2

m² + n² = 9-4

m² + n² = 5