Question

um jogador de beisebol lança uma bola para o recebedor do seu time em uma tentativa de jogar um corredor para fora da base. A bola ricocheteia uma vez antes de chegar ao recebedor.
Suponha que o ângulo no qual a bola sai do chão seja o mesmo com que o jogador lançou a bola, mas que a velocidade da bola depois do ricochete seja metade da velocidade anterior. Suponha que a bola lançada com a mesma velocidade inicial e despreze a resistência do ar. Em que ângulo 0 o jogador deveria jogar a bola para que ela percorresse a mesma distância D com um ricochete, igual a distância percorrida (sem ricochete) quando a bola é lançada a um ângulo de 45°?

Answer 1

Para responder essa questão vamos destrinchá-la em várias etapas. Trata-se de um Lançamento Oblíquo. Vamos lá!

a) Primeiro passo é calcular a distância D. Vamos chamar de $v_0$ a velocidade inicial (vale ressaltar aqui que ela é a mesma tanto para o lançamento de 45º quanto para o lançamento em θ).

O tempo de subida, para o lançamento de 45º será (esse tempo é calculado baseado apenas no movimento vertical do projétil, ou seja, $v_y$. No ponto de altura máxima a velocidade, em Y, será nula):

$v = v_{y_0} -gt_s^2\\\\0 = v_0sen45^o - 10t_s^2\\\\t_s^2 = \frac{v_0}{10}sen45^o = v_0\frac{\sqrt{2} }{20}\\\\t_s = \sqrt{v_0\frac{\sqrt{2} }{20} } s$

O tempo de voo será o tempo total que o projétil demorou para atingir a mesma altura inicial. Ou seja, será $2*t_s$. Logo:

$t_v = 2*t_s = 2\sqrt{v_0\frac{v_0\sqrt{2}}{20}}$

Agora, vamos calcular o Alcance D. Para tal vamos utilizar o movimento horizontal do projétil. Esse movimento, diferentemente do movimento vertical, é Uniforme, portanto:

$s = s_0 + v_{x_0}t\\\\D = 0 + v_0cos45^ot_v = (v_0cos45^o)*2\sqrt{\frac{v_0\sqrt{2} }{20} } = 2v_0\frac{\sqrt{2} }{2}*\sqrt{\frac{v_0\sqrt{2} }{20} } = v_0\sqrt{\frac{v_0\sqrt{2} }{10} } m$

Vale ressaltar que utilizei g = 10m/s².

Agora vamos tratar do movimento da bola que ricocheteia. No primeiro arco que ela faz, vamos ter:

Tempo de subida:

$v_y = v_{y_0} - gt_s^2\\\\0 = v_0sen\theta - 10t_s^2\\\\t_s^2 = \frac{v_0}{10}sen\theta\\ \\t_s = \sqrt{\frac{v_0}{10}sen\theta }$

Tempo de voo:

$t_v = 2*t_s = 2\sqrt{\frac{v_0}{10}sen\theta }$

Alcance:

$s = s_0 + v_{x_0}t_v\\\\d_1 = 0 + (v_0cos\theta)*2\sqrt{\frac{v_0}{10}sen\theta } = 2v_0cos\theta\sqrt{\frac{v_0}{10}sen\theta }$

Já no segundo arco, onde $v_0' = v_0/2$ vamos ter:

Tempo de subida:

$v_y' = v_{y_0}' - gt_s^2'\\\\0 = v_0'sen\theta - 10t_s^2'\\\\t_s^2' = \frac{v_0'}{10}sen\theta\\ \\t_s' = \sqrt{\frac{v_0'}{10}sen\theta }$

Tempo de voo:

$t_v' = 2*t_s' = 2\sqrt{\frac{v_0'}{10}sen\theta }$

Alcance:

$d_2 = 0 + v_{x_0}'t_v' = (v_0'cos\theta)*2\sqrt{\frac{v_0'}{10}sen\theta } = 2v_0'cos\theta\sqrt{\frac{v_0'}{10}sen\theta}= v_0cos\theta\sqrt{\frac{v_0}{20}sen\theta }$

A distancia percorrida pela bola deve ser a mesma, tanto em θ quanto em 45º. Sendo assim:

D = d1 + d2

$v_0\sqrt{\frac{v_0\sqrt{2} }{10} } = 2v_0cos\theta\sqrt{\frac{v_0}{10}sen\theta}+ v_0cos\theta\sqrt{\frac{v_0}{20}sen\theta } \\\\\sqrt{\frac{v_0\sqrt{2} }{10} } = 2cos\theta\sqrt{\frac{v_0}{10}sen\theta } + \frac{cos\theta}{\sqrt{2} }\sqrt{\frac{v_0}{10}sen\theta }\\\\\sqrt{\frac{v_0\sqrt{2}} {10} } = (\frac{2\sqrt{2} + 1 }{\sqrt{2} })cos\theta\sqrt{\frac{v_0sen\theta}{10} }$

Como $v_0>0$ sempre, temos que $|v_0|>0$, logo $|v_0| = v_0$. Elevando ao quadrado ambos os membros:

$\frac{v_0\sqrt{2} }{10} = \frac{(8 + 4\sqrt{2} + 1) }{2}cos^2\theta\frac{v_0|sen\theta|}{10}$

Como $v_0\neq 0$, podemos cancelar $v_0$ em ambos os lados:

$\sqrt{2} = \frac{(9+4\sqrt{2}) }{2} cos^2\theta|sen\theta|\\\\|sen\theta|cos^2\theta = \frac{2\sqrt{2} }{9+4\sqrt{2} } = \frac{2\sqrt{2} }{9+4\sqrt{2} } * \frac{9 - 4\sqrt{2} }{9 - 4\sqrt{2} } = \frac{18\sqrt{2} - 16 }{81 - 32} = \frac{18\sqrt{2} - 16 }{49}$

Resolvendo em θ, vamos ter:

θ = 1,08 rad = 60,8º

b) Vamos fazer a razão entre de voo para 60,8º e o tempo de voo para 45º:

$\frac{t_v' + t_v}{t_v_{original}} = \frac{2\sqrt{\frac{v_0sen\theta}{10}}+2\sqrt{\frac{v_0sen\theta}{20} } }{2\sqrt{v_0\frac{\sqrt{2} }{10}}}= \frac{(1 + \frac{1}{\sqrt{2} })\sqrt{\frac{v_0sen\theta}{10}}}{\sqrt{v_0\frac{\sqrt{2} }{10} } } = (\frac{1 + \sqrt{2} }{\sqrt{2} })\sqrt{\frac{v_0sen\theta}{10} \frac{10}{v_0\sqrt{2}}}= (\frac{1 + \sqrt{2} }{\sqrt{2} })\sqrt{\frac{sen\theta}{\sqrt{2} } } = (1 + \sqrt{2})\sqrt{\frac{sen\theta}{2} }$

Você pode aprender mais sobre Lançamento Oblíquo aqui: https://brainly.com.br/tarefa/127827