Question

Considere o polinômio do 2° grau ax² + bx + c e sejam x1 e x2 como no item (c) do Exercicio. Verifique que
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

Answer 1

Seja ax² + bx + c um polinômio de grau 2 e sejam x1 e x2 suas raízes.

De acordo com as relações de Girard, a soma das raízes será:

x1 + x2 = -b/a (I)

E o produto das raízes será:

x1*x2 = c/a (II)

Da equação (I), temos:

x1 + x2 = -b/a

-b = a*(x1 + x2)

b = -a*(x1 + x2)

b = -ax1 - ax2

Da equação (II), temos:

x1*x2 = c/a

c = ax1x2

Substituindo no polinômio os valores de b e c encontrados, temos:

ax² + bx + c =

ax² + (-ax1 - ax2)*x + ax1x2 =

ax²- ax1x - ax2x + ax1x2 =

a(x² - x1x - x2x + x1x2) =

a(x - x1)(x - x2)

Espero ter ajudado.