Question

Prove que a união de uma quantidade finita de conjuntos limitados
é ainda um conjunto limitado.

Answer 1

Conjunto limitado: um conjunto dos números reais é limitado se estiver contido em um intervalo fechado limitado, ou seja da forma [a,b], a < b.

Assim, considerando C1, C2, Cn, ... conjuntos finitos suponha que a união de todos eles não seja um conjunto finito. Por definição, deve existir um ponto p  do plano pertencente a essa união que não pode estar contido dentro de nenhuma circunferência.

Entretanto, se  p pertence a união deve pertencer a um dos conjuntos e como esse ponto não pode estar contido, então um dos conjuntos pertencentes a união não é finito, o que pode ser considerado como um absurdo.