Question

O engenheiro Nonato está elaborando um projeto para construir uma piscina. Sabe-se que o local onde a piscina será construída é a região limitada pelos gráficos de f e g, e pelas retas x = ‒ 2 e x = 2, onde f(x) = ‒ x + 5 e g(x) = x² ‒ 2, com unidade de medida graduada em metros.
a.) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e apresente a região da piscina conforme os dados apresentados.

b.) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pela piscina.

c.) Se a profundidade da piscina mede 1,5 m, apresente a quantidade necessária de água, em litros, para a mesma ser preenchida.

Answer 1

a) A piscina é representada pela região dada na figura dentro de todas as curvas.

b) Como uma parte da piscina está abaixo do eixo x, ao calcular a integral da região, esta parte será negativa, dando um resultado errado. Logo, vamos deslocar a região para cima do eixo x somando 2 nas duas funções, logo: f(x) = -x + 7 e g(x) = x². A integral será:

$A = \int\limits^2_{-2} \int\limits^{-x+7}_{x^2} \, dydx$

Resolvendo:

$A = \int\limits^2_{-2} {-x+7-x^2} \, dx = 2\int\limits^2_{0} {-x+7-x^2} \, dx \\A = 2\left(-\dfrac{x^2}{2} + 7x -\dfrac{x^3}{3}\right)|_0^2\\\\A = 2\left(-\dfrac{2^2}{2} + 7(2) -\dfrac{2^3}{3}\right)\\A = \dfrac{56}{3}\ m^2$

c) O volume da piscina será:

V = 56/3 * 1,5

V = 28 m³

Como cada m³ vale 1000 litros, temos que a piscina precisa de 28.000 litros para ser preenchida.