Question

11) Uma partícula realiza MHS de período 12 s e amplitude 20 cm. Determine a posição, a velocidade e a aceleração, 2 s após ela ter passado pela posição - 10 cm com velocidade negativa.

Answer 1

Em t=2s, x = 10cm, v = 5π√3/3 cm/s e a = -5π²/18 cm/s².

Explicação:

O MHS é descrito sempre pela equação:

x = A.cos(ωt+Ф)

Onde A é a amplitude, ω a frequência angular e Ф a fase.

Sabemos que a amplitude equivale a 20, e sabemos o período T, e como:

T = 2π/ω

Temos que ω = π/6.

Então a equação fica:

x = 20cos(πt/6+Ф)

Agora para determinarmos o valor de Ф, vamos substituir esta equação nas condições, que são de que x=-10, com velocidade negativa em t=0.

-10 = 20cos(Ф)

cos(Ф) = -1/2

E a velocidade é a derivada em relação ao tempo, da equação de MHS:

v = -(10π/3)sen(πt/6+Ф)

em t=0:

v = -(10π/3)sen(Ф) < 0 (<0, pois a velocidade é negativa neste momento).

sen(Ф) < 0

Agora sabemos que:

cos(Ф) = -1/2

sen(Ф) < 0

Para satisfazer essas condiçõesentão:

Ф = 4π/3

Sendo assim temos nossa equação MHS completa:

x = 20cos(πt/6+4π/3)

A partir desta equação, derivando temos a equação da velocidade e da aceleração:

v = -(10π/3)sen(πt/6+4π/3)

a = -(5π²/9)cos(πt/6+4π/3)

Assim em t=2:

x = 20cos(π.2/6+4π/3) = 20 . cos (5π/3) = 20 . 1/2 = 10 cm

v = -(10π/3)sen(πt/6+4π/3) = -(10π/3)sen(5π/3) = -(10π/3)(-√3/2) = 5π√3/3 cm/s

a = -(5π²/9)cos(πt/6+4π/3) = -(5π²/9) . 1/2 = -5π²/18 cm/s²