Question

A Ana tem 7,20€ em moedas de 50 cêntimos e 20 cêntimos. Se cada moeda de 50 cêntimos fosse de 20 cêntimos e cada moeda de 20 cêntimos fosse de 50 cêntimos, a Ana teria 5,40€.
Quantas moedas tem a Ana de cada tipo?​

Answer 1

Na primeira situação, "Ana tem 7,20€ em moedas de 50 cêntimos e 20 cêntimos", temos "x" moedas de 50 e "y" moedas de 20, logo:

$\boxed{0,50~.~x~+~0,20~.~y~=~7,20}$

Na segunda situação, "Se cada moeda de 50 cêntimos fosse de 20 cêntimos e cada moeda de 20 cêntimos fosse de 50 cêntimos, a Ana teria 5,40€", temos, agora, "y" moedas de 50 e "x" moedas de 20, logo:

$\boxed{0,20~.~x~+~0,50~.~y~=~5,40}$

Perceba que temos duas equações e duas incógnitas, ou seja, um sistema de equações. Podemos resolver este sistema por qualquer método conhecido, vou utilizar o método da substituição:

$\left\{\begin{array}{ccc}0,50x&+~~0,20y&=~~7,20\\0,20x&+~~0,50y&=~~5,40\end{array}$

Isolando "x" na primeira equação:

$0,50x+0,20y~=~7,20\\\\\\0,50x~=~7,20-0,20y\\\\\\x~=~\frac{7,20-0,20y}{0,50}\\\\\\x~=~(7,20-0,20y)~.~\frac{2}{1}\\\\\\\boxed{x~=~14,40-0,40y}$

Substituindo na segunda equação:

$0,20x&+~~0,50y&=~~5,40\\\\\\0,20~.~(14,40-0,40y)+0,50y~=~5,40\\\\\\2,88-0,08y+0,50y~=~5,40\\\\\\0,42y~=~5,40-2,88\\\\\\y~=~\frac{2,52}{0,42}\\\\\\y~=~2,52~.~\frac{100}{42}\\\\\\y~=~\frac{252}{42}\\\\\\\boxed{y~=~6}$

Substituindo o valor de "y" em uma das equações para achar o valor de "x":

$x~=~14,40-0,40y\\\\\\x~=~14,40~-~0,40~.~6\\\\\\x~=~14,40-2,40\\\\\\\boxed{x~=~12}$

Resposta: Ana tinha, na primeira situação, 12 moedas de 50 centavos e 6 de 20 centavos.